Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:
f(x, y, z)=5^x+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=5^x+y^2+z^2
Para isso vamos usar a regra da cadeia em funções da forma a^u, lembrando que
ddul(a^ur)=a^uln a

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y,z)=x+y^2+z^2,
de modo que f(x,y,z)=5^u(x,y,z) e
partialpartial u5^u=5^uln 5

Passo 3

Para calcular partial fpartial x aplicamos a regra da cadeia:
partial u / partial x = 1, logo
partial fpartial x =partialpartial u5^u,partial upartial x =5^uln 5cdot 1 =5^x+y^2+z^2ln 5

Passo 4

Para calcular partial fpartial y vemos que partial u / partial y=2y. Assim
partial fpartial y =5^uln 5cdot 2y =2y,5^x+y^2+z^2ln 5

Passo 5

Para calcular partial fpartial z usamos partial u / partial z=2z. Portanto
partial fpartial z =5^uln 5cdot 2z =2z,5^x+y^2+z^2ln 5

Resposta

partial fpartial x=5^x+y^2+z^2ln 5
partial fpartial y=2y,5^x+y^2+z^2ln 5
partial fpartial z=2z,5^x+y^2+z^2ln 5

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