Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por:
f(x, y, z)=x^2 e^y z+y ln (z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=x^2e^yz+yln(z)
Isso envolve aplicar a definição de derivada parcial, tratando as outras variáveis como constantes, e usar as regras de derivação de x^2, de e^u via regra da cadeia, e de ln(z).

Passo 2

Para partial fpartial x tratamos y e z como constantes. A única parte que depende de x é x^2e^yz, cuja derivada em relação a x é
ddxl(x^2e^yzr) =2x,e^yz
O termo yln(z) não depende de x, logo sua derivada parcial é zero.

Passo 3

Para partial fpartial y tratamos x e z como constantes. Primeiro,
partialpartial yl(x^2e^yzr) =x^2cdot e^yzcdotddy(yz) =x^2,z,e^yz
Depois,
partialpartial yl(yln(z)r) =ln(z)cdotddy(y) =ln(z)
Somando as duas partes, obtemos a derivada parcial em relação a y.

Passo 4

Para partial fpartial z tratamos x e y como constantes. Primeiro,
partialpartial zl(x^2e^yzr) =x^2cdot e^yzcdotddz(yz) =x^2,y,e^yz
Depois,
partialpartial zl(yln(z)r) =ycdotddzl(ln(z)r) =yz
Somando, temos a derivada parcial em relação a z.

Resposta

partial fpartial x=2x,e^yz,
partial fpartial y=x^2z,e^yz+ln(z),
partial fpartial z=x^2y,e^yz+yz

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