Seja
definida por
e
. Demonstre que:
não é contínua em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrarmos que a função
, definida por
quando
e
quando
, não é contínua em um ponto específico
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites na matemática, focando em como a função se comporta próximo a
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual é o ponto
onde vamos verificar a continuidade. Geralmente, quando analisamos funções definidas de maneira diferente em certos pontos, o interesse está nesses pontos peculiares. Aqui, como a função muda sua definição quando
, faz sentido verificar a continuidade em
.
Passo 3
Vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor de
. Matemáticamente, isso é:
Então, para nosso caso, precisamos verificar se:
Passo 4
Sabemos que
pela definição da função. Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, podemos analisar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
. Se o limite depender do caminho escolhido, então o limite geral não existe.
Passo 5
Vamos primeiro considerar o caminho onde
é uma função linear de
, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de
, que é um valor constante diferente de zero (a menos que
seja infinito, o que não é o caso).
Passo 6
Agora, vamos considerar um caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.
Passo 7
Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, o limite de
pode ser
ou mesmo infinito. Isso significa que o limite não é único e depende do caminho escolhido. Portanto, o limite geral
não existe.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe de forma única e depende do caminho escolhido, concluímos que
não é contínua em
.