Seja f: R^2 R definida por f(x, y)=x / y, y neq 0 e f(x, y)=0, y=0. Demonstre que:
f não é contínua em X0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrarmos que a função f: R^2 R , definida por f(x, y) = xy quando y neq 0 e f(x, y) = 0 quando y = 0 , não é contínua em um ponto específico X0 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e limites na matemática, focando em como a função se comporta próximo a X0 .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual é o ponto X0 onde vamos verificar a continuidade. Geralmente, quando analisamos funções definidas de maneira diferente em certos pontos, o interesse está nesses pontos peculiares. Aqui, como a função muda sua definição quando y = 0 , faz sentido verificar a continuidade em X0 = (0, 0) .

Passo 3

Vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f é contínua em X0 = (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) é igual ao valor de f(a, b) . Matemáticamente, isso é:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
Então, para nosso caso, precisamos verificar se:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0)

Passo 4

Sabemos que f(0, 0) = 0 pela definição da função. Agora, vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . Para isso, podemos analisar diferentes caminhos pelos quais (x, y) pode se aproximar de (0, 0) . Se o limite depender do caminho escolhido, então o limite geral não existe.

Passo 5

Vamos primeiro considerar o caminho onde y é uma função linear de x , por exemplo, y = kx , onde k é uma constante. Substituindo na função:
f(x, y) = xkx = 1k
À medida que x se aproxima de 0, f(x, y) se aproxima de 1k , que é um valor constante diferente de zero (a menos que k seja infinito, o que não é o caso).

Passo 6

Agora, vamos considerar um caminho diferente, por exemplo, y = x^2 . Substituindo na função:
f(x, y) = xx^2 = 1x
À medida que x se aproxima de 0, 1x cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Passo 7

Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (0, 0) , o limite de f(x, y) pode ser 1k ou mesmo infinito. Isso significa que o limite não é único e depende do caminho escolhido. Portanto, o limite geral lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) não existe.

Resposta

Como o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) não existe de forma única e depende do caminho escolhido, concluímos que f não é contínua em X0 = (0, 0) .

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