Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pede-se a derivada
. - A função dada é
. - Informação útil: a função é uma potência de uma função interna (um polinômio) elevada ao expoente
.
Passo 2
Princípio que vamos usar: regra da cadeia (combinada com a regra do poder).
- A regra do poder para uma função composta diz que, se
é uma função diferenciável e é um número real, então
- Aqui
é a parte interna da potência. A ideia é: derivar a potência como se fosse (multiplicando por ) e depois multiplicar pela derivada da função interna — por isso é chamada de “cadeia”, porque você aplica duas regras encadeadas.
Passo 3
Identificar
e
no nosso caso.
- Podemos tomar
e
- Assim
. Pelo passo anterior, precisamos de .
Passo 4
Calcular
(derivada do polinômio interno) passo a passo.
- Derivada termo a termo de um polinômio:
. - Aplicando em cada termo de
: -
. -
. -
.
-
- Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e montar
.
- Usando
, substituímos e :
Passo 6
Opcional: fatorar para uma forma um pouco mais enxuta (útil na prova).
- Note que
. - Assim uma forma factorizada é