Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\left(x^{5}+3 x^{2}+3\right)^{12}

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se a derivada f'(x).
  • A função dada é f(x)=\left(x^{5}+3 x^{2}+3\right)^{12}.
  • Informação útil: a função é uma potência de uma função interna (um polinômio) elevada ao expoente 12.

Passo 2

Princípio que vamos usar: regra da cadeia (combinada com a regra do poder).
  • A regra do poder para uma função composta diz que, se u(x) é uma função diferenciável e n é um número real, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^n = n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
  • Aqui u(x) é a parte interna da potência. A ideia é: derivar a potência como se fosse u^n (multiplicando por n u^{n-1}) e depois multiplicar pela derivada da função interna u'(x) — por isso é chamada de “cadeia”, porque você aplica duas regras encadeadas.

Passo 3

Identificar u(x) e n no nosso caso.
  • Podemos tomar
u(x)=x^{5}+3x^{2}+3
e
n=12.
  • Assim f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{12}. Pelo passo anterior, precisamos de u'(x).

Passo 4

Calcular u'(x) (derivada do polinômio interno) passo a passo.
  • Derivada termo a termo de um polinômio: \dfrac{d}{dx}\bigl(a x^{m}\bigr)=a m x^{m-1}.
  • Aplicando em cada termo de u(x)=x^{5}+3x^{2}+3:
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4}.
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2 x^{1}=6x.
    • \dfrac{d}{dx}\bigl(3\bigr)=0.
  • Portanto
u'(x)=5x^{4}+6x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e montar f'(x).
  • Usando \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{12}=12\bigl(u(x)\bigr)^{11}u'(x), substituímos u(x) e u'(x):
f'(x)=12\bigl(x^{5}+3x^{2}+3\bigr)^{11}\bigl(5x^{4}+6x\bigr).

Passo 6

Opcional: fatorar para uma forma um pouco mais enxuta (útil na prova).
  • Note que 5x^{4}+6x = x(5x^{3}+6).
  • Assim uma forma factorizada é
f'(x)=12x\bigl(5x^{3}+6\bigr)\bigl(x^{5}+3x^{2}+3\bigr)^{11}.

Resposta

f'(x)=12\bigl(x^{5}+3x^{2}+3\bigr)^{11}\bigl(5x^{4}+6x\bigr)

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