Calcule as derivadas para f(u) abaixo:
(g) 1+e^u1-e^u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função do tipo quociente, mais especificamente f(u) = (1 + e^{u})/(1 - e^{u}). Vamos usar a regra do quociente e a derivada da função exponencial.

Passo 2

Para derivar um quociente g(u)/h(u) usamos a regra:
f'(u) = g'(u),h(u) - g(u),h'(u)[h(u)]^2
Aqui temos g(u) = 1 + e^{u} e h(u) = 1 - e^{u}.

Passo 3

Agora calculamos separadamente as derivadas de g e h:
  • Derivada de g(u): g’(u) = \frac{d}{du}(1 + e^{u}) = e^{u}
  • Derivada de h(u): h’(u) = \frac{d}{du}(1 - e^{u}) = -e^{u}

Passo 4

Substituindo g, g’, h e h’(u) na fórmula da regra do quociente:
f'(u) = e^u(1 - e^u) - (1 + e^u)(-e^u)(1 - e^u)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
e^u(1 - e^u) - (1 + e^u)(-e^u) = e^u - e^2u + e^u + e^2u = 2e^u
Portanto, a derivada fica:
f'(u) = 2e^u(1 - e^u)^2

Resposta

f'(u) = 2e^u(1 - e^u)^2

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