Calcule as derivadas:
f(x)=\left(x^{2}+4\right)\left(e^{-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}+4\right)\left(e^{-x}\right).
Ou seja, devemos encontrar f'(x) a partir da expressão dada. As informações relevantes são:
  • A função é produto de duas funções dependentes de x: x^{2}+4 e e^{-x}.
  • Não há outras restrições ou dados numéricos.

Passo 2

Vou lembrar duas fórmulas essenciais que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
Produto de duas funções. Se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então a derivada do produto é
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x),
onde u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. A ideia intuitiva: a variação do produto tem duas partes — a variação de u mantendo v e a variação de v mantendo u.
Regra da cadeia para exponencial. Se g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}e^{g(x)} = g'(x)\,e^{g(x)}.
No caso especial g(x)=-x, temos g'(x)=-1, logo a derivada de e^{-x} é -e^{-x}.
Derivada de polinômio simples: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e constantes somadas somam 0.

Passo 3

Aplicando as ideias acima à nossa função, identifique as duas partes do produto:
u(x)=x^{2}+4,\qquad v(x)=e^{-x}.
Calcule as derivadas de cada uma:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+4\big)=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=(-1)\,e^{-x}=-e^{-x},
usando a regra da cadeia explicada no passo anterior.
Agora use a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=\big(2x\big)\,e^{-x} + \big(x^{2}+4\big)\big(-e^{-x}\big).

Passo 4

Fatorando e^{-x} em comum (isso simplifica e é uma técnica muito útil na prova):
f'(x)=e^{-x}\big(2x - (x^{2}+4)\big).
Desenvolvendo o termo interno:
2x - (x^{2}+4)= -x^{2}+2x-4.
Então uma forma limpa da resposta é
f'(x)=e^{-x}\big(-x^{2}+2x-4\big).
Também é comum apresentar tirando o sinal negativo fora:
f'(x)=-e^{-x}\big(x^{2}-2x+4\big).

Passo 5

Pequena verificação numérica rápida para ganhar confiança: para x=0,
f'(0)=-e^{0}\big(0^{2}-2\cdot0+4\big)=-1\cdot 4=-4.
Se quiser checar com derivada term-a-term (expandindo f(x)=x^{2}e^{-x}+4e^{-x}) chega-se ao mesmo valor. Bom sinal de que a álgebra está correta.

Passo 6

Dicas para a prova (rápidas e práticas):
  • Ao ver produto, identifique u e v e calcule u' e v' com calma; não tente decorar fórmulas compostas demais.
  • Para exponenciais do tipo e^{ax}, lembre: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}. Aqui a=-1.
  • Sempre que possível, fatorar e^{\text{algo}} em comum simplifica e evita erros de sinal.
  • Respira fundo — passo a passo funciona sempre. Você consegue!

Resposta

f'(x)=-e^{-x}\big(x^{2}-2x+4\big)

Exercícios relacionados