Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma razão entre
(numerador) e (denominador). - Não há outras restrições fornecidas (assumir
no domínio onde ).
Passo 2
Escolha do método e reescrita para facilitar: é mais prático reescrever a função como produto usando
. Assim
Por que isso ajuda? Porque aí aplicamos a regra do produto (mais simples de visualizar) em vez de aplicar diretamente a regra do quociente. A regra do produto diz, para duas funções
e
,
ou seja, derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo. Vou usar isso aqui.
Passo 3
Identificar as partes do produto e derivar a primeira parte:
- Tome
. Essa é uma soma de e uma constante. - Regra usada: regra da potência e derivada de constante.
- Para
a regra da potência diz que . Aqui , logo . - A derivada de uma constante é
.
Portanto
- Para
Passo 4
Derivar a segunda parte
. Vou mostrar por que
.
- Escreva
. - Use a regra da cadeia: se
então . Se então . - Pela cadeia,
- Agora note que
.
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do produto com
encontrados:
Substituindo:
Passo 6
Simplificar e apresentar formas equivalentes. Podemos fatorar
:
Outra forma, escrevendo tudo em termos de
e
, é:
Para colocar em um único quociente com denominador
, faça:
logo
Todas essas expressões são equivalentes; escolha a que preferir no exame. Lembre-se de que essa derivada só é válida quando
.