Calcule as derivadas:
f(x)=\frac{x^{2}+3}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}+3}{\cos x}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão entre x^{2}+3 (numerador) e \cos x (denominador).
  • Não há outras restrições fornecidas (assumir x no domínio onde \cos x\neq 0).

Passo 2

Escolha do método e reescrita para facilitar: é mais prático reescrever a função como produto usando \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Assim
f(x)=(x^{2}+3)\operatorname{sec} x.
Por que isso ajuda? Porque aí aplicamos a regra do produto (mais simples de visualizar) em vez de aplicar diretamente a regra do quociente. A regra do produto diz, para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
ou seja, derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo. Vou usar isso aqui.

Passo 3

Identificar as partes do produto e derivar a primeira parte:
  • Tome u(x)=x^{2}+3. Essa é uma soma de x^{2} e uma constante.
  • Regra usada: regra da potência e derivada de constante.
    • Para x^{2} a regra da potência diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui n=2, logo \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
    • A derivada de uma constante é 0.
      Portanto
u'(x)=2x.

Passo 4

Derivar a segunda parte v(x)=\operatorname{sec} x. Vou mostrar por que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.
  • Escreva \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1}.
  • Use a regra da cadeia: se g(t)=t^{-1} então g'(t)=-t^{-2}. Se h(x)=\cos x então h'(x)=-\sin x.
  • Pela cadeia,
\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1}=g'(h(x))\cdot h'(x) = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}.
  • Agora note que \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}=\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)=\operatorname{sec} x\tan x.
    Portanto
v'(x)=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 5

Aplicar a regra do produto com u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
f'(x)=2x\cdot\operatorname{sec} x + (x^{2}+3)\cdot(\operatorname{sec} x\tan x).

Passo 6

Simplificar e apresentar formas equivalentes. Podemos fatorar \operatorname{sec} x:
f'(x)=\operatorname{sec} x\bigl(2x + (x^{2}+3)\tan x\bigr).
Outra forma, escrevendo tudo em termos de \sin x e \cos x, é:
f'(x)=\frac{2x}{\cos x} + \frac{(x^{2}+3)\sin x}{\cos^{2}x}.
Para colocar em um único quociente com denominador \cos^{2}x, faça:
\frac{2x}{\cos x}=\frac{2x\cos x}{\cos^{2}x},
logo
f'(x)=\frac{2x\cos x + (x^{2}+3)\sin x}{\cos^{2}x}.
Todas essas expressões são equivalentes; escolha a que preferir no exame. Lembre-se de que essa derivada só é válida quando \cos x\neq 0.

Resposta

f'(x)=\frac{2x\cos x + (x^{2}+3)\sin x}{\cos^{2}x}

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