Calcule as derivadas de:
f(x)=x(\cos (2 x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função \displaystyle f(x)=x\big(\cos(2x)\big).
Informações dadas: a função é o produto de duas funções simples — a função identidade x e a função trigonométrica \cos(2x). O objetivo é obter a(s) derivada(s) de f.

Passo 2

Decidimos usar a regra do produto para derivar, porque f é produto de duas funções: u(x)=x e v(x)=\cos(2x). Também precisaremos da regra da cadeia para diferenciar \cos(2x), pois é uma composição de \cos(\cdot) com a função interna 2x. Essas regras são as ferramentas diretas para esse tipo de problema.

Passo 3

Apresentando as regras que vamos usar:
(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'
Aqui u e v são funções de x, u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x.
E a regra da cadeia para v(x)=\cos(g(x)) é:
\frac{d}{dx}\cos(g(x)) = -\sin(g(x))\cdot g'(x),
onde g(x) é a função interna e g'(x) é a derivada dessa interna.

Passo 4

Identificamos u(x)=x e v(x)=\cos(2x). Calculamos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Agora calculamos v'(x) usando a regra da cadeia. Aqui g(x)=2x, então g'(x)=2. Aplicando:
v'(x)=\frac{d}{dx}\cos(2x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 6

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores encontrados:
f'(x)=1\cdot\cos(2x)+x\cdot\big(-2\sin(2x)\big).
Simplificando:
f'(x)=\cos(2x)-2x\sin(2x).

Passo 7

Se quiser a segunda derivada (útil em muitos exercícios), derivamos novamente. Partimos de \displaystyle f'(x)=\cos(2x)-2x\sin(2x). Derivando termo a termo:
Derivada de \cos(2x):
\frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x).
Derivada de -2x\sin(2x): tratar como constante -2 vezes o produto x\sin(2x). Usando regra do produto em x\sin(2x):
\frac{d}{dx}\big(x\sin(2x)\big)=1\cdot\sin(2x)+x\cdot\big(2\cos(2x)\big)=\sin(2x)+2x\cos(2x).
Multiplicando por -2:
\frac{d}{dx}\big(-2x\sin(2x)\big)=-2\sin(2x)-4x\cos(2x).
Somando as duas partes:
f''(x)=-2\sin(2x)-2\sin(2x)-4x\cos(2x)=-4\sin(2x)-4x\cos(2x).
Ou em forma fatorada:
f''(x)=-4\big(\sin(2x)+x\cos(2x)\big).

Passo 8

Pequena verificação numérica para dar confiança: para x=0,
f'(0)=\cos(0)-2\cdot 0\cdot\sin(0)=1.
Para x=\tfrac{\pi}{4},
f'\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)-2\cdot\tfrac{\pi}{4}\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0-\tfrac{\pi}{2}=-\tfrac{\pi}{2},
o que faz sentido: é só uma checagem rápida.

Resposta

f'(x)=\cos(2x)-2x\sin(2x)
f''(x)=-4\sin(2x)-4x\cos(2x)

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