Calcule as derivadas de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
.
Informações dadas: a função é o produto de duas funções simples — a função identidade e a função trigonométrica
. O objetivo é obter a(s) derivada(s) de
.
Informações dadas: a função é o produto de duas funções simples — a função identidade
Passo 2
Decidimos usar a regra do produto para derivar, porque
é produto de duas funções:
e
. Também precisaremos da regra da cadeia para diferenciar
, pois é uma composição de
com a função interna
. Essas regras são as ferramentas diretas para esse tipo de problema.
Passo 3
Apresentando as regras que vamos usar:
Aqui
e
são funções de
,
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
E a regra da cadeia para é:
E a regra da cadeia para
onde
é a função interna e
é a derivada dessa interna.
Passo 4
Identificamos
e
. Calculamos
:
Passo 5
Agora calculamos
usando a regra da cadeia. Aqui
, então
. Aplicando:
Passo 6
Aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 7
Se quiser a segunda derivada (útil em muitos exercícios), derivamos novamente. Partimos de
. Derivando termo a termo:
Derivada de
:
Derivada de
: tratar como constante
vezes o produto
. Usando regra do produto em
:
Multiplicando por
:
Somando as duas partes:
Ou em forma fatorada:
Passo 8
Pequena verificação numérica para dar confiança: para
,
Para
,
o que faz sentido: é só uma checagem rápida.