Encontre as derivadas das funções abaixo:
(g) g(x)=\frac{e^{x}}{e^{-x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função g. A função dada é
g(x)=\frac{e^{x}}{e^{-x+1}}.
Portanto a pergunta é: calcular g'(x). As informações relevantes são a expressão acima e que a base exponencial é a função exponencial natural e^{(\cdot)}.

Passo 2

Antes de aplicar regra de derivação, é bom ver se a expressão pode ser simplificada usando regras de potência/exponencial. A regra que usamos é:
\text{se }a>0,\quad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Um exemplo rápido: \dfrac{2^{5}}{2^{3}}=2^{5-3}=2^{2}=4. Aplicando essa regra à nossa função com a=e, m=x e n=-x+1, obtemos:
g(x)=\frac{e^{x}}{e^{-x+1}}=e^{\,x-(-x+1)}.
Agora calculamos o expoente:
x-(-x+1)=x+x-1=2x-1.
Portanto a função fica simplificada para
g(x)=e^{2x-1}.

Passo 3

Agora precisamos derivar uma função exponencial composta. A regra geral que vamos usar é a regra da cadeia combinada com a derivada de e^{u}:
Regra da cadeia (forma prática): se h(x)=f(u(x)), então
h'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
No caso da exponencial natural, f(u)=e^{u} tem derivada f'(u)=e^{u}. Assim, para h(x)=e^{u(x)},
h'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Exemplo simples: se h(x)=e^{3x}, então u(x)=3x e u'(x)=3, logo h'(x)=3e^{3x}.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função simplificada g(x)=e^{2x-1}, definimos u(x)=2x-1. Calculamos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x-1)=2.
Pela fórmula da derivada da exponencial composta,
g'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}=2\,e^{2x-1}.

Passo 5

Como verificação e para você aprender outra abordagem, podemos também ter usado a regra do quociente direto sobre a expressão original. A regra do quociente diz que, para g(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},
g'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{[q(x)]^{2}}.
Aqui p(x)=e^{x} e q(x)=e^{-x+1}. Temos p'(x)=e^{x} e, pela regra da cadeia, q'(x)=(-1)e^{-x+1}. Substituindo:
g'(x)=\frac{e^{x}\,e^{-x+1}-e^{x}\cdot(-1)e^{-x+1}}{\big(e^{-x+1}\big)^{2}} =\frac{e^{x}e^{-x+1}(1+1)}{e^{-2x+2}} =\frac{2e^{1}}{e^{2}}\,e^{2x-1} =2e^{2x-1},
onde em algumas passagens usamos propriedades de potências para simplificar. O resultado coincide com o obtido pela simplificação inicial, confirmando que está correto.

Resposta

g'(x)=2e^{2x-1}

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