Encontre as derivadas das funções abaixo:
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
. A função dada é
Portanto a pergunta é: calcular
. As informações relevantes são a expressão acima e que a base exponencial é a função exponencial natural
.
Passo 2
Antes de aplicar regra de derivação, é bom ver se a expressão pode ser simplificada usando regras de potência/exponencial. A regra que usamos é:
Um exemplo rápido:
. Aplicando essa regra à nossa função com
,
e
, obtemos:
Agora calculamos o expoente:
Portanto a função fica simplificada para
Passo 3
Agora precisamos derivar uma função exponencial composta. A regra geral que vamos usar é a regra da cadeia combinada com a derivada de
:
Regra da cadeia (forma prática): se
, então
No caso da exponencial natural,
tem derivada
. Assim, para
,
Exemplo simples: se
, então
e
, logo
.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função simplificada
, definimos
. Calculamos
:
Pela fórmula da derivada da exponencial composta,
Passo 5
Como verificação e para você aprender outra abordagem, podemos também ter usado a regra do quociente direto sobre a expressão original. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
e
. Temos
e, pela regra da cadeia,
. Substituindo:
onde em algumas passagens usamos propriedades de potências para simplificar. O resultado coincide com o obtido pela simplificação inicial, confirmando que está correto.