Calcule as derivadas:
f(x)=(x+1) \ln (x)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do próprio enunciado): a função é \,f(x)=(x+1)\ln(x)\,. A tarefa é calcular a derivada f'(x), isto é, encontrar a expressão que dá a taxa de variação de f em função de x.

Passo 2

Condições e fórmulas básicas que vou usar (aqui explico com calma como funciona cada peça):
  • Domínio: a função contém \ln(x), que só está definida para x>0. Portanto só faz sentido falar de f'(x) quando \,x>0.
  • Derivada da função logarítmica: a regra é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x},
onde x é a variável independente e x\neq0. Isso vem da definição do logaritmo natural.
  • Derivada da função identidade: \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • Regra do produto (explicação intuitiva): se u(x) e v(x) são duas funções, a derivada de \,u(x)v(x)\, é
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v',
ou seja, a soma de “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” mais “a primeira multiplicada pela derivada da segunda”. Aqui u' denota \dfrac{du}{dx}.

Passo 3

Escolha do método: é mais simples expandir o produto em duas parcelas e diferenciar termo a termo. Escrevo
f(x)=(x+1)\ln(x)=x\ln(x)+\ln(x).
Agora calculo a derivada de cada parcela separadamente.

Passo 4

Derivo cada termo com detalhes (aqui mostro passo a passo):
  1. Para x\ln(x) uso a regra do produto com u(x)=x e v(x)=\ln(x). Então u'(x)=1 e v'(x)=\dfrac{1}{x}. Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x)\bigr)=u'v+uv' = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(x) + 1.
  1. Para \ln(x) já sabemos:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}.
Somando as duas derivadas (regra da soma: derivada da soma é soma das derivadas),
f'(x)=\bigl(\ln(x)+1\bigr) + \frac{1}{x}.

Passo 5

Simplificação final (opções de forma): posso deixar f'(x) como
f'(x)=\ln(x)+1+\frac{1}{x},
ou juntar 1+\dfrac{1}{x} em uma só fração:
1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x},
logo uma forma alternativa é
f'(x)=\ln(x)+\frac{x+1}{x}.
Lembre que tudo vale apenas para \,x>0, pois a função original exige isso.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\ln(x)+1+\frac{1}{x} (para x>0)

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