Calcule as derivadas:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do próprio enunciado): a função é
. A tarefa é calcular a derivada
, isto é, encontrar a expressão que dá a taxa de variação de
em função de
.
Passo 2
Condições e fórmulas básicas que vou usar (aqui explico com calma como funciona cada peça):
- Domínio: a função contém
, que só está definida para . Portanto só faz sentido falar de quando . - Derivada da função logarítmica: a regra é
onde
é a variável independente e
. Isso vem da definição do logaritmo natural.
- Derivada da função identidade:
. - Regra do produto (explicação intuitiva): se
e são duas funções, a derivada de é
ou seja, a soma de “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” mais “a primeira multiplicada pela derivada da segunda”. Aqui
denota
.
Passo 3
Escolha do método: é mais simples expandir o produto em duas parcelas e diferenciar termo a termo. Escrevo
Agora calculo a derivada de cada parcela separadamente.
Passo 4
Derivo cada termo com detalhes (aqui mostro passo a passo):
- Para
uso a regra do produto com e . Então e . Aplicando a regra do produto:
- Para
já sabemos:
Somando as duas derivadas (regra da soma: derivada da soma é soma das derivadas),
Passo 5
Simplificação final (opções de forma): posso deixar
como
ou juntar
em uma só fração:
logo uma forma alternativa é
Lembre que tudo vale apenas para
, pois a função original exige isso.