Calcule as derivadas:
f(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2\right)
e pede para calcular a derivada f'(x). Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
\text{(a) Regra da potência: } \frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1},\quad n\in\mathbb{R}.ê
Aqui x é a variável e n é o expoente. Ex.: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
\text{(b) Regra da soma/constante: } \frac{d}{dx}\big( g(x)+c\big)=g'(x),\quad \frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Constantes desaparecem na derivada.
\text{\text{(c)} Regra do produto: } \frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivar a primeira função e multiplicar pela segunda, depois somar a primeira vezes a derivada da segunda. É uma regra essencial quando temos produto de duas funções.

Passo 3

Identificar as duas funções do produto em f(x):
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=x^{3}-2.
Agora calculo as derivadas individuais usando a regra da potência e da constante:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)=2x+0=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}-2\big)=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que encontramos:
f'(x)=\big(2x\big)\big(x^{3}-2\big)+\big(x^{2}+1\big)\big(3x^{2}\big).

Passo 5

Fazer a distribuição e simplificar termo a termo (passo a passo, sem pular contas):
Primeiro termo:
2x\cdot x^{3}=2x^{4},\qquad 2x\cdot(-2)=-4x.
Segundo termo:
(x^{2}+1)\cdot 3x^{2}=3x^{2}\cdot x^{2}+3x^{2}\cdot 1=3x^{4}+3x^{2}.
Somando todos os termos:
f'(x)=2x^{4}-4x+3x^{4}+3x^{2}.

Passo 6

Combinar termos semelhantes:
2x^{4}+3x^{4}=5x^{4},
portanto
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}-4x.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, para ficar seguro): expandir f(x) antes de derivar e aplicar a regra da potência direto.
Expandindo:
f(x)=x^{5}+x^{3}-2x^{2}-2.
Derivando termo a termo:
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}-4x+0,
o mesmo resultado obtido anteriormente. Bom sinal de consistência.

Resposta

f'(x)=5x^{4}+3x^{2}-4x

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