Calcule as derivadas:
f(x)=x^{3} \sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função. Temos a informação:
  • A função é f(x)=x^{3}\sin(2x).
    A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Estratégia básica (fórmulas que vamos usar):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(u\cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.
  • Regra da cadeia: se h(x)=g(\varphi(x)) com g e \varphi diferenciáveis, então
h'(x)=g'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x).
Também recorde que a derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t), e a derivada de ax (com a constante) é a.

Passo 3

Identificar as duas funções que multiplicam (para aplicar a regra do produto). Escolho
u(x)=x^{3},\qquad v(x)=\sin(2x).

Passo 4

Calcular u'(x) e v'(x) separadamente.
  • Para u(x)=x^{3}, pela regra da potência:
u'(x)=3x^{2}.
Expliquei: a regra da potência diz que (x^{n})'=n x^{n-1}, aqui n=3.

Passo 5

Calcular v'(x) usando a regra da cadeia. Coloco \varphi(x)=2x e g(t)=\sin(t), então v(x)=g(\varphi(x)).
  • Primeiro g'(t)=\cos(t).
  • Depois \varphi'(x)=2.
    Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=g'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x)=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).
Expliquei: derivou-se \sin para \cos e multiplicou-se pela derivada de 2x, que é 2.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto (u\cdot v)'=u'v+uv' com os resultados obtidos:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=3x^{2}\sin(2x)+x^{3}\cdot 2\cos(2x).

Passo 7

Simplificar a expressão final (fatorar um pouco para ficar mais elegante):
f'(x)=3x^{2}\sin(2x)+2x^{3}\cos(2x)=x^{2}\bigl(3\sin(2x)+2x\cos(2x)\bigr).

Resposta

f'(x)=3x^{2}\sin(2x)+2x^{3}\cos(2x)=x^{2}\bigl(3\sin(2x)+2x\cos(2x)\bigr)

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