Calcule as derivadas:
f(x)=(x+1)\left(x^{2}+2 x+3\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(x+1)\left(x^{2}+2x+3\right)
e pede para calcular as derivadas. Vou entender “as derivadas” como a derivada primeira f'(x) e a derivada segunda f''(x). Essas são as incógnitas que vamos encontrar.

Passo 2

Antes de aplicar, vamos revisar as regras que vamos usar — explicadinhas e devagarinho.
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x) então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são duas funções quaisquer; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas. A regra diz que a derivada do produto é a soma do produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.
  • Regra da soma e da constante: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se g(x)=a(x)+b(x) então g'(x)=a'(x)+b'(x); se c é constante então \dfrac{d}{dx}c=0.
  • Regra da potência (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Isso vale para n=2,3,\dots e é a forma básica para derivar monômios.
Com essas regras já dá para tudo aqui.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto. Seja
u(x)=x+1,\qquad v(x)=x^{2}+2x+3.
Agora calculamos as derivadas de u e v separadamente.
Derivada de u(x)=x+1: por linearidade e power rule,
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)=1+0=1.
Derivada de v(x)=x^{2}+2x+3: derivando termo a termo,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(3)=2x+2+0=2x+2.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que encontramos:
f'(x)=1\cdot\left(x^{2}+2x+3\right)+(x+1)\cdot(2x+2).
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o primeiro termo já é
x^{2}+2x+3.
Para o segundo termo fazemos a multiplicação:
(x+1)(2x+2)=2x^{2}+4x+2.
Somando os dois termos:
f'(x)=\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)+\bigl(2x^{2}+4x+2\bigr)=3x^{2}+6x+5.
Portanto
f'(x)=3x^{2}+6x+5.

Passo 5

Agora calculamos a derivada segunda f''(x) derivando f'(x) termo a termo. Usamos novamente a regra da potência e da soma.
Derivando f'(x)=3x^{2}+6x+5:
f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(6x)+\frac{d}{dx}(5)=3\cdot 2x + 6 + 0 =6x+6.
Podemos também escrever f''(x)=6(x+1) se quisermos fatorar.

Passo 6

(Verificação opcional) Se expandirmos f(x) antes de derivar, obtemos
f(x)=(x+1)(x^{2}+2x+3)=x^{3}+3x^{2}+5x+3.
Derivando diretamente:
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2},\quad \frac{d}{dx}3x^{2}=6x,\quad \frac{d}{dx}5x=5,
logo f'(x)=3x^{2}+6x+5, que coincide com o resultado anterior, e então f''(x)=6x+6. Tudo consistente.

Resposta

f'(x)=3x^{2}+6x+5
f''(x)=6x+6

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