Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas. Vou entender “as derivadas” como a derivada primeira
e a derivada segunda
. Essas são as incógnitas que vamos encontrar.
Passo 2
Antes de aplicar, vamos revisar as regras que vamos usar — explicadinhas e devagarinho.
- Regra do produto: se
então
Aqui
e
são duas funções quaisquer;
e
são as derivadas delas. A regra diz que a derivada do produto é a soma do produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.
-
Regra da soma e da constante: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
então ; se é constante então . -
Regra da potência (power rule): para
real,
Isso vale para
e é a forma básica para derivar monômios.
Com essas regras já dá para tudo aqui.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto. Seja
Agora calculamos as derivadas de
e
separadamente.
Derivada de
: por linearidade e power rule,
Derivada de
: derivando termo a termo,
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
que encontramos:
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o primeiro termo já é
Para o segundo termo fazemos a multiplicação:
Somando os dois termos:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos a derivada segunda
derivando
termo a termo. Usamos novamente a regra da potência e da soma.
Derivando
:
Podemos também escrever
se quisermos fatorar.
Passo 6
(Verificação opcional) Se expandirmos
antes de derivar, obtemos
Derivando diretamente:
logo
, que coincide com o resultado anterior, e então
. Tudo consistente.