Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função está escrita como produto de duas funções: uma polinomial
e uma trigonométrica . - O objetivo explícito é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos usar a regra do produto para derivar uma função que é produto de duas funções. A regra do produto diz:
O que cada símbolo significa:
-
e são funções de . -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Essa fórmula significa: a taxa de variação do produto é a soma de (a taxa de variação da primeira vezes a segunda) mais (a primeira vezes a taxa de variação da segunda). É a ferramenta que usamos sempre que temos produto de funções.
Passo 3
Rápida demonstração (intuição formal) da regra do produto a partir da definição de derivada. Pela definição:
Adiciona e subtrai
:
Tomando o limite e usando que
quando
, obtemos
ou seja
como queríamos. Isso mostra por que a regra funciona.
Passo 4
Identificamos as duas funções que formam o produto:
Agora calculamos as derivadas individuais:
- Derivada de
. Pela regra da potência e da constante: portanto Explicando a regra da potência: para , a derivada é . Aqui , então vira . - Derivada de
. Conhecimento padrão das derivadas trigonométricas: (Lembrete: e .)
Passo 5
Aplicando a regra do produto
com os
,
e derivadas que encontramos:
Substituindo:
Organizando o sinal:
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (ânimo!): memorize a regra do produto e as derivadas básicas (potência, constantes,
e
). Na hora, identifique claramente
e
, calcule
e
e depois aplique
. Respira, faz passo a passo — você consegue!