Calcule as derivadas:
f(x)=\left(x^{3}+5\right)(\cos x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{3}+5\right)(\cos x).
Informações dadas:
  • A função está escrita como produto de duas funções: uma polinomial x^{3}+5 e uma trigonométrica \cos x.
  • O objetivo explícito é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para derivar uma função que é produto de duas funções. A regra do produto diz:
\text{Se } u(x)\text{ e }v(x)\text{ são diferenciáveis, então }(u v)' = u'v + u v'.ãáã
O que cada símbolo significa:
  • u(x) e v(x) são funções de x.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    Essa fórmula significa: a taxa de variação do produto é a soma de (a taxa de variação da primeira vezes a segunda) mais (a primeira vezes a taxa de variação da segunda). É a ferramenta que usamos sempre que temos produto de funções.

Passo 3

Rápida demonstração (intuição formal) da regra do produto a partir da definição de derivada. Pela definição:
(uv)'=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.
Adiciona e subtrai u(x+h)v(x):
\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h} =\frac{u(x+h)\big(v(x+h)-v(x)\big)}{h}+\frac{v(x)\big(u(x+h)-u(x)\big)}{h}.
Tomando o limite e usando que u(x+h)\to u(x) quando h\to0, obtemos
(uv)'=u(x)\,v'(x)+v(x)\,u'(x),
ou seja
(uv)'=u'v+uv',
como queríamos. Isso mostra por que a regra funciona.

Passo 4

Identificamos as duas funções que formam o produto:
u(x)=x^{3}+5,\qquad v(x)=\cos x.
Agora calculamos as derivadas individuais:
  • Derivada de u(x)=x^{3}+5. Pela regra da potência e da constante: \frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(5)=0,portanto u'(x)=3x^{2}.Explicando a regra da potência: para x^{n}, a derivada é n x^{n-1}. Aqui n=3, então vira 3x^{2}.
  • Derivada de v(x)=\cos x. Conhecimento padrão das derivadas trigonométricas: v'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.(Lembrete: \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x e \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.)

Passo 5

Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com os u, v e derivadas que encontramos:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=3x^{2}\cdot\cos x+(x^{3}+5)\cdot(-\sin x).
Organizando o sinal:
f'(x)=3x^{2}\cos x-(x^{3}+5)\sin x.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (ânimo!): memorize a regra do produto e as derivadas básicas (potência, constantes, \sin e \cos). Na hora, identifique claramente u e v, calcule u' e v' e depois aplique u'v+uv'. Respira, faz passo a passo — você consegue!

Resposta

f'(x)=3x^{2}\cos x-(x^{3}+5)\sin x

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