Calcule as derivadas:
f(x)=(2 x+3)\left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=(2x+3)\left(x^{2}-1\right).
Informações dadas: a função está escrita como produto de duas funções mais simples, 2x+3 e x^{2}-1. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto): se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por
\big(u(x)\,v(x)\big)'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando cada termo: u'(x) é a derivada de u em relação a x; v'(x) é a derivada de v em relação a x. A fórmula diz: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo. É assim que se “distribui” a diferenciação sobre um produto.

Passo 3

Identificar as funções u e v no nosso caso:
u(x)=2x+3,\qquad v(x)=x^{2}-1.
Agora calculamos as derivadas simples:
  • Derivada de u(x)=2x+3: pela regra da derivada de uma função linear, a derivada de ax+b é a. Logo
u'(x)=2.
  • Derivada de v(x)=x^{2}-1: pela regra do poder, a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Assim
v'(x)=2x.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,\,u',\,v,\,v':
f'(x)=2\cdot\left(x^{2}-1\right)+(2x+3)\cdot(2x).

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro expandir cada termo:
2\cdot\left(x^{2}-1\right)=2x^{2}-2,
(2x+3)\cdot(2x)=2x\cdot2x+3\cdot2x=4x^{2}+6x.
Somando os dois resultados:
f'(x)=(2x^{2}-2)+(4x^{2}+6x).

Passo 6

Combinar termos semelhantes:
2x^{2}+4x^{2}=6x^{2},
e há um termo em x: 6x, e o termo constante: -2. Portanto
f'(x)=6x^{2}+6x-2.
Opcionalmente podemos fatorar um 2 em evidência:
f'(x)=2\left(3x^{2}+3x-1\right),
mas a forma polinomial 6x^{2}+6x-2 já é perfeitamente válida como resposta.

Resposta

f'(x)=6x^{2}+6x-2
f'(x)=2\left(3x^{2}+3x-1\right)

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