Calcule as derivadas
f(x)=3^{x} \ln x-\cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=3^{x}\ln x - \cos x.
O conteúdo envolvido é derivada de soma, derivada de produto, derivada de função exponencial a^x, derivada de logaritmo natural e derivada de cosseno. Vamos usar as seguintes regras:
  1. \frac{d}{dx}[u+v]=u'+v'.
  2. \frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'\,v+u\,v'.
  3. \frac{d}{dx}[a^{x}]=a^{x}\ln(a).
  4. \frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}.
  5. \frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x.

Passo 2

Aplicando a regra do produto à parte 3^{x}\ln x, definimos
u(x)=3^{x},\quad v(x)=\ln x,
então
u'(x)=3^{x}\ln(3),\quad v'(x)=\frac{1}{x}.
Logo, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(3^{x}\ln x\bigr) = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =3^{x}\ln(3)\,\ln x + 3^{x}\,\frac{1}{x}.

Passo 3

Para a parte -\cos x, usamos a derivada do cosseno:
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr) =-\bigl(-\sin x\bigr) =\sin x.

Passo 4

Somando as derivadas das duas parcelas, obtemos
f'(x) =3^{x}\ln(3)\,\ln x + \frac{3^{x}}{x} + \sin x.

Resposta

f'(x)=3^{x}\ln(3)\,\ln x + \frac{3^{x}}{x} + \sin x.

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