Calcule as derivadas
f(x)=\operatorname{tg} x^{2}+\sqrt{\operatorname{sen} x^{2}}+e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\tan\bigl(x^{2}\bigr)+\sqrt{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}+e^{x}.
O que vamos usar: regra da cadeia para funções compostas, a derivada de \tan(u), de \sqrt{u} e de e^{x}.

Passo 2

Derivada de \tan\bigl(x^{2}\bigr).
Seja u(x)=x^{2}. Então
\frac{d}{dx}\tan\bigl(u(x)\bigr) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 3

Derivada de \sqrt{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}.
Defina v(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr) e w(v)=\sqrt{v}=v^{1/2}. Aplicando a cadeia duas vezes:
\frac{d}{dx}w\bigl(v(x)\bigr) =\frac12\,v(x)^{-1/2}\cdot v'(x) =\frac{1}{2\sqrt{\sin(x^{2})}}\cdot\bigl[\cos(x^{2})\cdot 2x\bigr].
Simplificando,
\frac{d}{dx}\sqrt{\sin(x^{2})} =\frac{x\,\cos(x^{2})}{\sqrt{\sin(x^{2})}}.

Passo 4

Derivada de e^{x}:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 5

Agora somamos as três derivadas:
f'(x) =2x\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr) +\frac{x\,\cos(x^{2})}{\sqrt{\sin(x^{2})}} +e^{x}.

Resposta

f'(x)=2x\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr) +\frac{x\,\cos(x^{2})}{\sqrt{\sin(x^{2})}} +e^{x}.

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