Calcule as derivadas
f(x)=x^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{\tan x}
O conteúdo envolvido é tratar uma função com base e expoente variáveis, usando logaritmo para reescrever como exponencial e, em seguida, aplicar regra da cadeia e produto.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de f(x) para facilitar a diferenciação. Definindo
g(x)=\ln f(x),
temos
g(x)=\ln\bigl(x^{\tan x}\bigr)=\tan x\;\ln x.
Logo
f(x)=e^{g(x)}=e^{\tan x\,\ln x}.

Passo 3

Calculamos a derivada de g(x)=\tan x\;\ln x usando a regra do produto. Como
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x,
segue
g'(x)=\operatorname{sec}^2 x\;\ln x+\tan x\;\frac1x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em f(x)=e^{g(x)}. Obtém-se
f'(x)=e^{g(x)}\;g'(x)
e, voltando a f(x)=x^{\tan x},
f'(x)=x^{\tan x}\Bigl(\operatorname{sec}^2 x\;\ln x+\frac{\tan x}{x}\Bigr).

Resposta

f'(x)=x^{\tan x}\Bigl(\operatorname{sec}^2 x\,\ln x+\frac{\tan x}{x}\Bigr).

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