Questão 4. Em cada item, resolva o que se pede
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=3 x^{3}-2 x+5, para p=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=3x^{3}-2x+5 no ponto cuja abscissa é p=1. Para isso, vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular da reta tangente e avaliar a função em x=1.

Passo 2

Calculamos a derivada de f para encontrar o coeficiente angular da reta tangente. Aplicando a regra do poder:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(5) =9x^{2}-2+0 =9x^{2}-2.

Passo 3

Obtemos o coeficiente angular da reta tangente avaliando f'(x) em x=1:
f'(1)=9\cdot1^{2}-2=9-2=7.

Passo 4

Calculamos o valor de f no ponto x=1 para ter o ponto de tangência:
f(1)=3\cdot1^{3}-2\cdot1+5=3-2+5=6.
Logo, o ponto de tangência é \bigl(1,6\bigr).

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - f(1) = f'(1)\,(x - 1)
y - 6 = 7\,(x - 1)
Agora simplificamos:
y = 7x -7 +6
y = 7x -1.

Resposta

y = 7x - 1

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