Questão 5. Resolva cada um dos item abaixo.
Calcule a derivada de y=e^{3 x} \cdot \operatorname{arcsen} 2 x

Passo 1

O enunciado nos dá
y = e^{3x}\cdot \arcsin(2x)
e pede y'. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Seja u(x)=e^{3x}. Pela regra da cadeia,
u'(x)=3e^{3x}.

Passo 3

Seja v(x)=\arcsin(2x). Pela regra da cadeia,
v'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x), obtemos
y' = 3e^{3x}\arcsin(2x) \;+\; e^{3x}\,\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}
e, agrupando e^{3x},
y' = e^{3x}\Bigl(3\arcsin(2x) + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigr).

Resposta

y' = e^{3x}\Bigl(3\arcsin(2x) + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigr).

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