Calcule as derivadas de:
f(x)=\sqrt[5]{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para calcular as derivadas. Dados relevantes:
  • A função é f(x)=\sqrt[5]{x^{2}+1}.
  • Como o enunciado usa “derivadas” (no plural), vou calcular a derivada primeira f'(x) e a derivada segunda f''(x).
  • Observação sobre domínio: x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, então a função está bem definida em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos reescrever a função de uma forma que facilita derivar: transformar a raiz em potência. Lembrando que \sqrt[5]{\cdot} equivale ao expoente 1/5,
f(x)=(x^{2}+1)^{1/5}.
Isso é útil porque podemos aplicar a regra do poder (power rule) combinada com a regra da cadeia (chain rule).

Passo 3

Vou explicar as regras que vou usar:
  • Regra do poder (caso simples): se g(x)=x^{n} com n constante, então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui n pode ser fracionário.
  • Regra da cadeia: se h(x)=G(u(x)), então h'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x). No nosso caso teremos G(u)=u^{1/5} e u(x)=x^{2}+1.
  • Combinação prática: a derivada de (u(x))^{n} é n (u(x))^{n-1}\cdot u'(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula acima a f(x)=(x^{2}+1)^{1/5}:
  • Primeiro calcule u'(x) para u(x)=x^{2}+1. Temos u'(x)=2x.
  • Agora aplique n=1/5:
f'(x)=\frac{1}{5}(x^{2}+1)^{\,1/5-1}\cdot 2x.
Calcule o expoente 1/5-1=-4/5 e simplifique o coeficiente:
f'(x)=\frac{2x}{5}(x^{2}+1)^{-4/5}.

Passo 5

Opcionalmente escrevemos f'(x) em forma de raiz para ver mais claro:
f'(x)=\frac{2x}{5\,(x^{2}+1)^{4/5}}=\frac{2x}{5\sqrt[5]{(x^{2}+1)^{4}}}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais prática para manipulações algébricas.

Passo 6

Agora vamos calcular a derivada segunda f''(x). Tomamos a forma
f'(x)=\frac{2}{5}\,x\,(x^{2}+1)^{-4/5}
e vamos derivar usando a regra do produto: se p(x)=u(x)v(x), então p'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 7

Definimos u(x)=\dfrac{2}{5}x e v(x)=(x^{2}+1)^{-4/5}.
  • u'(x)=\dfrac{2}{5}.
  • Para v'(x) usamos novamente a regra da cadeia: se v(x)=(x^{2}+1)^{m} com m=-4/5, então
v'(x)=m (x^{2}+1)^{m-1}\cdot (2x)=\left(-\frac{4}{5}\right)(x^{2}+1)^{-9/5}\cdot 2x.
Multiplicando os constantes:
v'(x)=-\frac{8x}{5}(x^{2}+1)^{-9/5}.

Passo 8

Agora aplicamos a regra do produto:
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =\frac{2}{5}(x^{2}+1)^{-4/5}+\frac{2}{5}x\left(-\frac{8x}{5}(x^{2}+1)^{-9/5}\right).
Simplificando o segundo termo:
f''(x)=\frac{2}{5}(x^{2}+1)^{-4/5}-\frac{16x^{2}}{25}(x^{2}+1)^{-9/5}.

Passo 9

Para deixar mais compacto, fatoramos \dfrac{2}{5}(x^{2}+1)^{-9/5} (o menor expoente):
f''(x)=\frac{2}{5}(x^{2}+1)^{-9/5}\Big((x^{2}+1)-\frac{8x^{2}}{5}\Big).
Simplificando o que está no parêntese:
(x^{2}+1)-\frac{8x^{2}}{5}=\frac{5x^{2}+5-8x^{2}}{5}=\frac{5-3x^{2}}{5}.
Portanto
f''(x)=\frac{2}{5}(x^{2}+1)^{-9/5}\cdot\frac{5-3x^{2}}{5}=\frac{2(5-3x^{2})}{25}(x^{2}+1)^{-9/5}.

Passo 10

Também podemos escrever f''(x) em forma de raiz:
f''(x)=\frac{2(5-3x^{2})}{25\,(x^{2}+1)^{9/5}}=\frac{2(5-3x^{2})}{25\sqrt[5]{(x^{2}+1)^{9}}}.

Resposta

f'(x)=\dfrac{2x}{5}(x^{2}+1)^{-4/5}=\dfrac{2x}{5\sqrt[5]{(x^{2}+1)^{4}}}
f''(x)=\dfrac{2(5-3x^{2})}{25}(x^{2}+1)^{-9/5}=\dfrac{2(5-3x^{2})}{25\sqrt[5]{(x^{2}+1)^{9}}}

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