Calcule as derivadas de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas. Dados relevantes:
- A função é
. - Como o enunciado usa “derivadas” (no plural), vou calcular a derivada primeira
e a derivada segunda . - Observação sobre domínio:
para todo , então a função está bem definida em todo .
Passo 2
Vamos reescrever a função de uma forma que facilita derivar: transformar a raiz em potência. Lembrando que
equivale ao expoente
,
Isso é útil porque podemos aplicar a regra do poder (power rule) combinada com a regra da cadeia (chain rule).
Passo 3
Vou explicar as regras que vou usar:
- Regra do poder (caso simples): se
com constante, então . Aqui pode ser fracionário. - Regra da cadeia: se
, então . No nosso caso teremos e . - Combinação prática: a derivada de
é .
Passo 4
Aplicando a fórmula acima a
:
- Primeiro calcule
para . Temos . - Agora aplique
:
Calcule o expoente
e simplifique o coeficiente:
Passo 5
Opcionalmente escrevemos
em forma de raiz para ver mais claro:
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais prática para manipulações algébricas.
Passo 6
Agora vamos calcular a derivada segunda
. Tomamos a forma
e vamos derivar usando a regra do produto: se
, então
.
Passo 7
Definimos
e
.
-
. - Para
usamos novamente a regra da cadeia: se com , então
Multiplicando os constantes:
Passo 8
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Passo 9
Para deixar mais compacto, fatoramos
(o menor expoente):
Simplificando o que está no parêntese:
Portanto
Passo 10
Também podemos escrever
em forma de raiz: