Calcule as derivadas das funções.
f(x)=sen xx^3+cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=sin xx^3+cos x
O conteúdo principal aqui é aplicação da regra do quociente, além de usarmos as derivadas de sin x, de cos x e a regra do expoente para x^3.

Passo 2

Definimos
u(x)=sin x e v(x)=x^3+cos x
Então suas derivadas são
u'(x)=cos x e v'(x)=3x^2-sin x,
pois ddx(x^3)=3x^2 e ddx(cos x)=-sin x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =cos x,(x^3+cos x);-;sin x,(3x^2-sin x)(x^3+cos x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
cos x,(x^3+cos x) -sin x,(3x^2-sin x) =x^3cos x+cos^2x-3x^2sin x+sin^2x
Usando sin^2x+cos^2x=1, isso vira
x^3cos x-3x^2sin x+1
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f'(x) =x^3cos x-3x^2sin x+1(x^3+cos x)^2

Resposta

f'(x)=x^3cos x-3x^2sin x+1(x^3+cos x)^2

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