Determine, se possıvel, o domınio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes fun ções:
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a função
: identificar domínio, imagem e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo principal é análise de funções racionais e comportamento assintótico. Vamos usar conceitos de restrição do denominador, sinais de fração e noções de assíntotas.
Passo 2
Para encontrar o domínio, lembramos que não podemos dividir por zero. Aqui o denominador é
, então requeremos
, ou seja,
. Concluímos que o domínio é todos os números reais, exceto zero.
Passo 3
Para achar a imagem (o conjunto de valores possíveis de
), observamos que
para todo
, logo
. Como há um sinal negativo na frente,
sempre. Quando
,
e então
. E quando
,
e então
. Assim a imagem é
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, notamos que há duas assíntotas: a vertical
e a horizontal
. O gráfico tem duas curvas idênticas em forma de “copos virados para baixo”, uma no ramo
e outra no ramo
, aproximando-se das assíntotas sem nunca tocá-las. Para ter uma ideia, se
,
; se
,
; se
,
, e assim por diante. Desenhando esses pontos e as assíntotas, obtemos o esboço solicitado.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.