Determine, se possıvel, o domınio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes fun ções:
f(x)=-1x^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função f(x)=-1x^2: identificar domínio, imagem e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo principal é análise de funções racionais e comportamento assintótico. Vamos usar conceitos de restrição do denominador, sinais de fração e noções de assíntotas.

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que não podemos dividir por zero. Aqui o denominador é x^2, então requeremos x^2neq 0, ou seja, xneq 0. Concluímos que o domínio é todos os números reais, exceto zero.

Passo 3

Para achar a imagem (o conjunto de valores possíveis de f(x)), observamos que x^2>0 para todo xneq 0, logo 1x^2>0. Como há um sinal negativo na frente, f(x)= -1x^2<0 sempre. Quando xto0, 1x^2to+infty e então f(x)to -infty. E quando |x|toinfty, 1x^2to0^+ e então f(x)to0^-. Assim a imagem é .

Passo 4

Para esboçar o gráfico, notamos que há duas assíntotas: a vertical x=0 e a horizontal y=0. O gráfico tem duas curvas idênticas em forma de “copos virados para baixo”, uma no ramo x>0 e outra no ramo x<0, aproximando-se das assíntotas sem nunca tocá-las. Para ter uma ideia, se x=1, f(1)=-1; se x=2, f(2)=-tfrac14; se x=-1, f(-1)=-1, e assim por diante. Desenhando esses pontos e as assíntotas, obtemos o esboço solicitado.

Resposta

Domínio: Rsetminus0. Imagem: ( -infty,0).

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