Calcule as derivadas das funções.
f(x)=sen x cos xe^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = sin x,cos x e^x
O conteúdo envolve derivada de produto (ou quociente), regra da cadeia e identidades trigonométricas.

Passo 2

Para simplificar a derivação, usamos a identidade
sin x,cos x = 12sin(2x)
Assim podemos reescrever
f(x) = 12,sin(2x), e^-x

Passo 3

Agora f é um produto de duas funções:
u(x) = 12sin(2x), v(x) = e^-x
Vamos aplicar a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = 12cdotl(2cos(2x)r) = cos(2x), v'(x) = - e^-x
Logo,
f'(x) = cos(2x), e^-x + 12sin(2x),l(- e^-xr)

Passo 5

Fatorando e^-x e simplificando, obtemos
f'(x) = e^-xl(cos(2x) - tfrac12sin(2x)r)

Resposta

f'(x) = e^-xl(cos(2x) - tfrac12sin(2x)r)

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