Calcule, as derivadas das funções abaixo:
y=sinh (5 x) cdot ln (x^-2+tg x) cdot(sin (cos (7 x)))e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede pra gente encontrar a derivada de uma função bem complexa. A função que temos é:
y = sinh(5x) cdot ln(x^-2 + tan x) cdot sin(cos(7x))e^2x
Aqui, vamos precisar usar algumas regras de derivação: a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função do tipo uv, onde:
  • u = sinh(5x) cdot ln(x^-2 + tan x) cdot sin(cos(7x))
  • v = e^2x
Para derivar y = uv, usamos a regra do quociente, que diz que:
y' = u' cdot v - u cdot v'v^2

Passo 3

Agora, vamos precisar encontrar u' e v'. Começando por v, que é mais simples:
v = e^2x v' = ddx e^2x = 2e^2x

Passo 4

Agora, vamos derivar u. Como u é um produto de três funções, vamos usar a regra do produto. Para três funções, a derivada é:
u' = f' cdot g cdot h + f cdot g' cdot h + f cdot g cdot h'
Onde:
  • f = sinh(5x)
  • g = ln(x^-2 + tan x)
  • h = sin(cos(7x))

Passo 5

Vamos derivar cada uma dessas partes:
  1. Derivada de f = sinh(5x):
f' = 5 cosh(5x)
  1. Derivada de g = ln(x^-2 + tan x):
Aplicamos a regra da cadeia:
g' = 1x^-2 + tan x cdot (-2x^-3 + sec^2 x)
  1. Derivada de h = sin(cos(7x)):
Também usamos a regra da cadeia:
h' = cos(cos(7x)) cdot (-7 sin(7x)) = -7 sin(7x) cos(cos(7x))

Passo 6

Agora, juntamos tudo na fórmula da regra do produto para achar u':
u' = (5 cosh(5x)) cdot ln(x^-2 + tan x) cdot sin(cos(7x)) + sinh(5x) cdot (-2x^-3 + sec^2 xx^-2 + tan x) cdot sin(cos(7x)) + sinh(5x) cdot ln(x^-2 + tan x) cdot (-7 sin(7x) cos(cos(7x)))

Passo 7

Voltando à regra do quociente, temos:
y' = u' cdot v - u cdot v'v^2
Substituindo u', u, v e v' na expressão:
y' = [ (5 cosh(5x)) cdot ln(x^-2 + tan x) cdot sin(cos(7x)) + sinh(5x) cdot -2x^-3 + sec^2 xx^-2 + tan x cdot sin(cos(7x)) + sinh(5x) cdot ln(x^-2 + tan x) cdot (-7 sin(7x) cos(cos(7x))) ] cdot e^2x - sinh(5x) cdot ln(x^-2 + tan x) cdot sin(cos(7x)) cdot 2e^2x e^4x

Resposta

A derivada da função é:
y' = [ 5 cosh(5x) ln(x^-2 + tan x) sin(cos(7x)) + sinh(5x) cdot -2x^-3 + sec^2xx^-2 + tan x sin(cos(7x)) - 7 sinh(5x) ln(x^-2 + tan x) sin(7x) cos(cos(7x)) ] e^2x - 2 sinh(5x) ln(x^-2 + tan x) sin(cos(7x)) e^2x e^4x
Que pode ser simplificada para:
y' = 5 cosh(5x) ln(x^-2 + tan x) sin(cos(7x)) + sinh(5x) cdot -2x^-3 + sec^2xx^-2 + tan x sin(cos(7x)) - 7 sinh(5x) ln(x^-2 + tan x) sin(7x) cos(cos(7x)) - 2 sinh(5x) ln(x^-2 + tan x) sin(cos(7x)) e^2x

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