Calcule, as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede pra gente encontrar a derivada de uma função bem complexa. A função que temos é:
Aqui, vamos precisar usar algumas regras de derivação: a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que temos uma função do tipo
, onde:
Para derivar
, usamos a regra do quociente, que diz que:
Passo 3
Agora, vamos precisar encontrar
e
. Começando por
, que é mais simples:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Como
é um produto de três funções, vamos usar a regra do produto. Para três funções, a derivada é:
Onde:
Passo 5
Vamos derivar cada uma dessas partes:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aplicamos a regra da cadeia:
- Derivada de
:
Também usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, juntamos tudo na fórmula da regra do produto para achar
:
Passo 7
Voltando à regra do quociente, temos:
Substituindo
,
,
e
na expressão:
Resposta
A derivada da função é:
Que pode ser simplificada para: