Determine os valores de a e b, de modo que a função f seja derivável em R.
Seja
f(x)=ll a(1-cos x) & se x<0 (x+b)^2-4 & se x >= 0

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= a,(1-cos x), & x<0, (x+b)^2-4, & x>=0,
e pede que ela seja derivável em todo R. Para isso precisamos, em x=0, (1) garantir a continuidade de f e (2) igualar as derivadas laterais.

Passo 2

Continuidad e em x=0:
– Pela esquerda:
limxto0^-f(x) =limxto0^-a,(1-cos x) =a,(1-cos0) =acdot0 =0
– Pela direita (e valor em 0):
limxto0^+f(x) =(0+b)^2-4 =b^2-4,
e f(0)=b^2-4.
Para ser contínua em 0 devemos ter
0=b^2-4 Longrightarrow b^2=4 Longrightarrow b=2 ou b=-2

Passo 3

Derivabilidade em x=0:
– Derivada pela esquerda:
f'(x)=asin x Longrightarrow f'(0^-)=asin0=0
– Derivada pela direita:
f'(x)=2(x+b) Longrightarrow f'(0^+)=2(0+b)=2b
Para igualar as derivadas laterais precisamo s de
0=2b Longrightarrow b=0

Passo 4

Não há valor de b que satisfaça simultaneamente b^2=4 (continuidade) e b=0 (derivabilidade). Portanto não existem valores reais de a e b que tornem f derivável em R.

Resposta

Não existem valores reais de a e b que façam f derivável em todo R.

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