I=integral d xraizx-raiz[3]x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral dxraizx - raiz[3]x
O conteúdo é técnicas de mudança de variável e divisão de polinômios. Vamos usar a substituição u = x^1/6 para transformar raízes em potências inteiras.

Passo 2

Fazendo u = x^1/6 temos
x = u^6, dx = 6,u^5,du
Além disso,
raizx = x^1/2 = u^3, raiz[3]x = x^1/3 = u^2

Passo 3

Substituindo tudo na integral,
I = integral 6,u^5,duu^3 - u^2 = 6 integral u^5u^2(u-1),du = 6 integral u^3u-1,du

Passo 4

Para integrar u^3u-1 fazemos divisão de polinômios:
u^3u-1 = u^2 + u + 1 + 1u-1
Logo
6 integral u^3u-1,du = 6 integrall(u^2 + u + 1 + tfrac1u-1r)du

Passo 5

Integramos termo a termo:
6integral u^2,du = 6cdotu^33 = 2u^3, 6integral u,du = 6cdotu^22 = 3u^2, 6integral 1,du = 6u, 6integral 1u-1,du = 6lnl|u-1r|
Somando e acrescentando constante C,
I = 2u^3 + 3u^2 + 6u + 6lnl|u-1r| + C

Passo 6

Voltando a x com u = x^1/6, temos
2u^3 = 2x^1/2, 3u^2 = 3x^1/3, 6u = 6x^1/6, lnl|u-1r| = lnl|x^1/6-1r|

Resposta

boxedI = 2x^1/2 + 3x^1/3 + 6x^1/6 + 6lnl|x^1/6-1r| + C

Exercícios relacionados