Seja D a região no primeiro e segundo octante, delimitada abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2 e acima pela esfera rho=4. Expresse o volume de D como
a) integral tripla em coordenadas esféricas.
(1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede o volume da região D que está no primeiro e segundo octante (ou seja, y>=0 e z>=0), delimitada por baixo pelo cone
z = raizx^2+y^2
e por cima pela esfera
rho = 4
em coordenadas esféricas. Para isso, vamos achar as faixas de rho, varphi e theta e usar o elemento de volume rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.

Passo 2

Convertendo o cone para esféricas, temos
z = rhocosvarphi, raizx^2+y^2 = rhosinvarphi,
logo o cone z=raizx^2+y^2 vira
rhocosvarphi = rhosinvarphi Longrightarrow varphi = pi4
Como D está acima do cone, ficamos com
0 <= varphi <= pi4

Passo 3

No plano xy, “primeiro e segundo octante” significa y>=0. Em coordenadas esféricas isso equivale a
0 <= theta <= pi

Passo 4

Por fim, D está dentro da esfera de raio 4, então
0 <= rho <= 4
O elemento de volume é
rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.

Passo 5

Reunindo tudo, o volume de D é dado pela integral tripla
V = integraltheta=0^pi integralvarphi=0^pi/4 integralrho=0^4 rho^2 sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

Resposta

V = integral0^pi integral0^pi/4 integral0^4 rho^2 sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

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