Seja D a região no primeiro e segundo octante, delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Expresse o volume de D como
a) integral tripla em coordenadas esféricas.
(1,0 ponto)
a) integral tripla em coordenadas esféricas.
(1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
que está no primeiro e segundo octante (ou seja,
e
), delimitada por baixo pelo cone
e por cima pela esfera
em coordenadas esféricas. Para isso, vamos achar as faixas de
,
e
e usar o elemento de volume
.
Passo 2
Convertendo o cone para esféricas, temos
logo o cone
vira
Como
está acima do cone, ficamos com
Passo 3
No plano
, “primeiro e segundo octante” significa
. Em coordenadas esféricas isso equivale a
Passo 4
Por fim,
está dentro da esfera de raio 4, então
O elemento de volume é
.
Passo 5
Reunindo tudo, o volume de
é dado pela integral tripla