Calcule as derivadas das funçōes abaixo:
g(x)=sec ^2(2 x)

Passo 1

A gente vai resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função g(x) = sec^2(2x) . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especialmente as regras para derivar funções compostas e as derivadas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função sec(x) . A derivada de sec(x) é sec(x)tan(x) . Como a nossa função é sec^2(2x) , que pode ser escrita como (sec(2x))^2 , vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar essa função composta.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos que a derivada de sec^2(2x) em relação a x é:
ddx sec^2(2x) = 2 cdot sec(2x) cdot ddx[sec(2x)]
Aqui, a gente trouxe o expoente para frente multiplicando e reduziu a potência.

Passo 4

Agora, vamos derivar sec(2x) . Como já vimos, a derivada de sec(u) é sec(u)tan(u) multiplicada pela derivada de u . No nosso caso, u = 2x , então:
ddx[sec(2x)] = sec(2x)tan(2x) cdot 2

Passo 5

Voltando à expressão anterior, substituímos a derivada que acabamos de encontrar:
ddx sec^2(2x) = 2 cdot sec(2x) cdot [sec(2x)tan(2x) cdot 2]
Simplificando os termos:
= 2 cdot 2 cdot sec^2(2x)tan(2x)
= 4 sec^2(2x)tan(2x)

Resposta

A derivada da função g(x) = sec^2(2x) é g'(x) = 4 sec^2(2x)tan(2x) .

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