Calcule as derivadas das funçōes abaixo:
f(x)=e^raizx^3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = e^raizx^3 - 1 . Isso está na área de cálculo diferencial, especificamente lidando com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e lembrar como derivar funções exponenciais e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função exponencial do tipo e^g(x) , a gente usa a regra da cadeia. A regra diz que a derivada de e^g(x) é e^g(x) multiplicado pela derivada de g(x) . Então, aplicando isso à nossa função:
f'(x) = e^raizx^3 - 1 cdot ddx( raizx^3 - 1 )

Passo 3

Agora, precisamos derivar raizx^3 - 1 . Lembra que raizu é o mesmo que u^1/2 , e a derivada disso é 12 u^-1/2 multiplicado pela derivada de u . Então, temos:
ddx( raizx^3 - 1 ) = 12 ( x^3 - 1 )^-1/2 cdot ddx( x^3 - 1 )

Passo 4

Vamos derivar agora x^3 - 1 . A derivada de x^3 é 3x^2 e a derivada de uma constante (-1) é 0. Então:
ddx( x^3 - 1 ) = 3x^2

Passo 5

Substituindo essa derivada de volta na expressão anterior, temos:
ddx( raizx^3 - 1 ) = 12 ( x^3 - 1 )^-1/2 cdot 3x^2 = 3x^22 raizx^3 - 1

Passo 6

Agora, voltamos à nossa expressão inicial para f'(x) :
f'(x) = e^raizx^3 - 1 cdot 3x^22 raizx^3 - 1

Resposta

Então, a derivada da função é:
f'(x) = 3x^22 raizx^3 - 1 cdot e^raizx^3 -1

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