Sejam r1=2 i-j+k, r2=i+3 j-2 k, r3=-2 i+j-3 k e r4=3 i+2 j+5 k. Encontre:
valores a, b, c tais que r4=a r1+b r2+c r3.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores:
  • r1 = 2i - j + k
  • r2 = i + 3j - 2k
  • r3 = -2i + j - 3k
  • r4 = 3i + 2j + 5k
Queremos encontrar os valores de a, b, c tais que:
r4 = a r1 + b r2 + c r3
Para resolver isso, vamos usar a composição de vetores e resolver um sistema de equações lineares. Precisamos comparar as componentes de i , j e k dos dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação r4 = a r1 + b r2 + c r3 de forma detalhada, substituindo os vetores pelos seus componentes:
3i + 2j + 5k = a(2i - j + k) + b(i + 3j - 2k) + c(-2i + j - 3k)
Vamos distribuir os coeficientes a, b, c :
3i + 2j + 5k = (2a + b - 2c)i + (-a + 3b + c)j + (a - 2b - 3c)k

Passo 3

Agora, igualamos as componentes de i , j e k dos dois lados da equação. Isso nos dá um sistema de três equações:
  1. Para i :
2a + b - 2c = 3
  1. Para j :
-a + 3b + c = 2
  1. Para k :
a - 2b - 3c = 5

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, vamos reorganizar as equações para facilitar:
  1. 2a + b - 2c = 3  →  2a + b - 2c = 3
  2. -a + 3b + c = 2  →  -a + 3b + c = 2
  3. a - 2b - 3c = 5  →  a - 2b - 3c = 5
Vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar a :
Primeiro, da equação 2, isolamos a :
-a + 3b + c = 2
-a = 2 - 3b - c
a = -2 + 3b + c

Passo 5

Agora, substituímos a na equação 1 e na equação 3:
Substituindo na equação 1:
2(-2 + 3b + c) + b - 2c = 3
-4 + 6b + 2c + b - 2c = 3
-4 + 7b = 3
7b = 7
b = 1
Substituindo na equação 3:
(-2 + 3b + c) - 2b - 3c = 5
-2 + 3(1) + c - 2(1) - 3c = 5
-2 + 3 + c - 2 - 3c = 5
(-2 + 3 - 2) + (c - 3c) = 5
-1 - 2c = 5
-2c = 6
c = -3

Passo 6

Agora que temos b = 1 e c = -3 , substituímos esses valores na expressão que encontramos para a :
a = -2 + 3b + c
a = -2 + 3(1) + (-3)
a = -2 + 3 - 3
a = -2

Resposta

Os valores que satisfazem a equação r4 = a r1 + b r2 + c r3 são:
a = -2, b = 1, c = -3

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