Use a derivação implicita para encontrar uma equação da reta tangente à elipse x^2+x y+y^2=3 no ponto (1,1). Existe algum ponto dessa curva para o qual a reta tangente é horizontal? Se sim, determine-o. Se não, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação que representa uma elipse: x^2 + x y + y^2 = 3 . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente a essa elipse no ponto específico (1,1). Além disso, queremos verificar se existe algum ponto nessa curva onde a reta tangente é horizontal.
Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada dydx quando y não está isolado em termos de x . Isso nos ajudará a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada dydx da equação da elipse. Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que, quando diferenciamos termos que envolvem y , precisamos usar a regra da cadeia, multiplicando pela derivada de y em relação a x , ou seja, dydx .
Diferenciando x^2 em relação a x 2x .
Diferenciando x y em relação a x y + x dydx (usando a regra do produto).
Diferenciando y^2 em relação a x 2y dydx .
E a derivada de 3, que é uma constante, é 0.
Então, temos:
2x + y + x dydx + 2y dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para dydx . Vamos agrupar os termos que contêm dydx e os que não contém.
x dydx + 2y dydx = -2x - y
Fatorando dydx do lado esquerdo:
dydx (x + 2y) = -2x - y
Agora, isolamos dydx :
dydx = -2x - yx + 2y

Passo 4

Com a derivada dydx encontrada, podemos calcular a inclinação da reta tangente no ponto (1,1). Basta substituir x = 1 e y = 1 na expressão da derivada:
dydx = -2(1) - 11 + 2(1) = -2 - 11 + 2 = -33 = -1
Então, a inclinação da reta tangente no ponto (1,1) é -1.

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente, podemos usar a forma da equação da reta:
y - y0 = m (x - x0)
Onde m é a inclinação e (x0, y0) é o ponto de tangência.
Substituindo m = -1 e (x0, y0) = (1,1) :
y - 1 = -1 (x - 1)
Simplificando:
y - 1 = -x + 1
y = -x + 2
Então, a equação da reta tangente no ponto (1,1) é y = -x + 2 .

Passo 6

Agora, vamos verificar se existe algum ponto na curva onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação m = 0 .
Sabemos que a inclinação da reta tangente é dada por dydx = -2x - yx + 2y .
Para que a reta seja horizontal, precisamos que dydx = 0 :
-2x - yx + 2y = 0
Isso acontece quando o numerador é zero:
-2x - y = 0 Rightarrow y = -2x
Agora, substituímos y = -2x na equação original da elipse para encontrar o(s) valor(es) de x :
x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 3
x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 3
3x^2 = 3
x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Agora, encontramos os valores de y :
Para x = 1 :
y = -2(1) = -2
Para x = -1 :
y = -2(-1) = 2
Portanto, existem dois pontos na curva onde a reta tangente é horizontal: (1, -2) e (-1, 2).

Resposta

A equação da reta tangente à elipse no ponto (1,1) é y = -x + 2 . Além disso, existem dois pontos na curva onde as retas tangentes são horizontais: (1, -2) e (-1, 2).

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