Use a derivação implicita para encontrar uma equação da reta tangente à elipse
no ponto
. Existe algum ponto dessa curva para o qual a reta tangente é horizontal? Se sim, determine-o. Se não, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação que representa uma elipse:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente a essa elipse no ponto específico
. Além disso, queremos verificar se existe algum ponto nessa curva onde a reta tangente é horizontal.
Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada
quando
não está isolado em termos de
. Isso nos ajudará a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada
da equação da elipse. Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, quando diferenciamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia, multiplicando pela derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Diferenciando
em relação a
dá
.
Diferenciando
em relação a
dá
(usando a regra do produto).
Diferenciando
em relação a
dá
.
E a derivada de 3, que é uma constante, é 0.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contém.
Fatorando
do lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Com a derivada
encontrada, podemos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Basta substituir
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta tangente, podemos usar a forma da equação da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto de tangência.
Substituindo
e
:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se existe algum ponto na curva onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação
.
Sabemos que a inclinação da reta tangente é dada por
.
Para que a reta seja horizontal, precisamos que
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Agora, substituímos
na equação original da elipse para encontrar o(s) valor(es) de
:
Agora, encontramos os valores de
:
Para
:
Para
:
Portanto, existem dois pontos na curva onde a reta tangente é horizontal:
e
.
Resposta
A equação da reta tangente à elipse no ponto
é
. Além disso, existem dois pontos na curva onde as retas tangentes são horizontais:
e
.