Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=(sen x+cos x)^2(x^2+9)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = (sin x + cos x)^2,(x^2+9)
e nos pede f'(x). Para isso, vamos usar a regra do produto (entre u(x)=(sin x+cos x)^2 e v(x)=x^2+9) e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar a potência.

Passo 2

Seja
u(x) = (sin x + cos x)^2
e
v(x) = x^2+9
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Agora usamos a regra da cadeia para achar u'(x). Definindo g(x)=sin x+cos x, temos u(x)=g(x)^2, logo
u'(x) = 2,g(x),g'(x) = 2(sin x + cos x),(cos x - sin x)

Passo 3

Agora derivamos
v(x) = x^2+9
de modo direto, obtendo
v'(x) = 2x

Passo 4

Substituindo em f'(x) = u'v + uv', vem
f'(x) = 2(sin x + cos x)(cos x - sin x),(x^2+9) + (sin x + cos x)^2cdot 2x
Opcionalmente, podemos fatorar 2(sin x+cos x):
f'(x) = 2(sin x + cos x)l[(cos x - sin x)(x^2+9) + x(sin x + cos x)r]

Resposta

boxedf'(x) = 2(sin x + cos x)(cos x - sin x),(x^2+9);+;2x,(sin x + cos x)^2

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