Calcule a integral
integralegral duplaR e^x+yx-y d x d y
onde R é a região trapezoidal com vértices (1,0),(2,0),(0,2) e (0,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR e^x+y,x-y,;dx,dy,
onde R é o trapézio de vértices (1,0), (2,0), (0,2) e (0,-1).
O conteúdo principal aqui é mudança de variáveis para simplificar o expoente x+yx-y e depois analisar a convergência do integral impróprio.

Passo 2

Escolhemos a transformação
u = x + y, v = x - y que faz o integrando ficar e^u/v. Invertendo, x = u+v2, y = u-v2 e o jacobiano é partial(x,y)partial(u,v) = det 12 & 12 12 & -12 = -tfrac12,
logo dx,dy = 12 du,dv.

Passo 3

Mapeando os vértices de
Isso define um quadrilátero cujos lados são
Assim a integral se torna
com (Q] dado por

Passo 4

Para cada faixa fixa de v, integramos em u:
integral e^u/v,du = v,e^u/v
Logo a parcela sobre Q é
integralv=-2^1l[v,e^u/vr]u=-v^u=2dv + integralv=1^2l[v,e^u/vr]u=v^u=2dv
No entanto, ao aproximar vto0^+ a segunda integral interna
l[v,e^2/v-v,e^,v/vr]
comporta-se como v,e^2/vto+infty. Como e^2/v cresce muito mais rápido que 1/v decresce, o integrando torna-se não integrável em torno de v=0.

Resposta

A integral não converge (diverge para +infty).

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