Considere a função f(x)=2 x^4-2 x^2+2 x-1
Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

O enunciado define a função polinomial
f(x)=2x^4-2x^2+2x-1
e pede para mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Como todo polinômio é contínuo em R, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano): se encontrarmos a e b tais que f(a)cdot f(b)<0, então existe cin(a,b) com f(c)=0.

Passo 2

Calcular f(0). Substituindo x=0 em f(x), temos
f(0)=2cdot0^4-2cdot0^2+2cdot0-1=-1

Passo 3

Calcular f(1). Substituindo x=1 em f(x), temos
f(1)=2cdot1^4-2cdot1^2+2cdot1-1=2-2+2-1=1

Passo 4

Observamos que
f(0)=-1<0 e f(1)=1>0
Como f é contínua e há troca de sinal entre x=0 e x=1, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um cin(0,1) tal que
f(c)=0

Resposta

A função f(x)=2x^4-2x^2+2x-1 possui pelo menos uma raiz real em (0,1).

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