Calcule as derivadas das funções abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
Enunciado e dados: calcular a derivada da função
O que se pede: encontrar
. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável é
e o denominador não pode ser zero, ou seja
, logo
e
. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de modo simples e concreto):
- Regra do quociente: se
, então
Aqui
é o numerador e
o denominador. A ideia é: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador vezes a derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.
- Regra da potência (caso particular útil): para
,
Exemplo simples:
. A derivada de uma constante (como
) é
.
Passo 3
Identificamos
e
:
Agora calculamos
e
usando a regra da potência e a linearidade:
-
Aqui usei que a derivada de é e de é vezes a derivada de . -
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Expandindo os produtos no numerador:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Subtraindo o segundo termo do primeiro (lembre do sinal menos):
Passo 6
Simplificando o numerador (cancelamentos e soma de termos semelhantes):
Portanto
Passo 7
Podemos factorar o numerador para uma forma mais compacta. Observe que
Fatorando
: as raízes vêm de
, que tem discriminante
, logo raízes
e
. Assim
e então
Substituindo na expressão de
obtemos a forma fatorada
Passo 8
Comentário final e domínio: a derivada está definida para os mesmos
em que
está definida, isto é, para
e
(porque o denominador original não pode ser zero). Se quiser usar em prova, você pode apresentar a forma expandida ou a forma fatorada — ambas estão corretas.