Calcule as derivadas das funções abaixo:
(d) f(r)=\frac{1+3 r^{2}}{r^{2}-r}

Passo 1

Enunciado e dados: calcular a derivada da função
f(r)=\frac{1+3r^{2}}{r^{2}-r}.
O que se pede: encontrar f'(r). Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável é r e o denominador não pode ser zero, ou seja r^{2}-r\neq0, logo r\neq0 e r\neq1. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de modo simples e concreto):
  • Regra do quociente: se f(r)=\dfrac{u(r)}{v(r)}, então
f'(r)=\frac{u'(r)v(r)-u(r)v'(r)}{[v(r)]^{2}}.
Aqui u(r) é o numerador e v(r) o denominador. A ideia é: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador vezes a derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.
  • Regra da potência (caso particular útil): para g(r)=r^{n},
g'(r)=n\,r^{n-1}.
Exemplo simples: (r^{2})' = 2r. A derivada de uma constante (como 1) é 0.

Passo 3

Identificamos u(r) e v(r):
u(r)=1+3r^{2},\qquad v(r)=r^{2}-r.
Agora calculamos u'(r) e v'(r) usando a regra da potência e a linearidade:
  • u'(r)=(1)'+(3r^{2})' = 0 + 3\cdot 2r = 6r. Aqui usei que a derivada de 1 é 0 e de 3r^{2} é 3 vezes a derivada de r^{2}.
  • v'(r)=(r^{2})'-(r)' = 2r - 1.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(r)=\frac{u'(r)v(r)-u(r)v'(r)}{[v(r)]^{2}} =\frac{6r\,(r^{2}-r)-(1+3r^{2})(2r-1)}{(r^{2}-r)^{2}}.
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Expandindo os produtos no numerador:
  • Primeiro termo: 6r\,(r^{2}-r)=6r^{3}-6r^{2}.
  • Segundo termo: (1+3r^{2})(2r-1)=1\cdot(2r-1)+3r^{2}\cdot(2r-1)=2r-1+6r^{3}-3r^{2}.
    Subtraindo o segundo termo do primeiro (lembre do sinal menos):
\text{numerador}= (6r^{3}-6r^{2}) - (6r^{3}-3r^{2}+2r-1).

Passo 6

Simplificando o numerador (cancelamentos e soma de termos semelhantes):
\begin{aligned} \text{numerador} &= 6r^{3}-6r^{2}-6r^{3}+3r^{2}-2r+1 \\\ &= (-6r^{2}+3r^{2}) -2r +1 \\\ &= -3r^{2}-2r+1. \end{aligned}
Portanto
f'(r)=\frac{-3r^{2}-2r+1}{(r^{2}-r)^{2}}.

Passo 7

Podemos factorar o numerador para uma forma mais compacta. Observe que
-3r^{2}-2r+1 = -\bigl(3r^{2}+2r-1\bigr).
Fatorando 3r^{2}+2r-1: as raízes vêm de 3r^{2}+2r-1=0, que tem discriminante \Delta=2^{2}-4\cdot3\cdot(-1)=16, logo raízes r=\dfrac{-2\pm4}{6}=\dfrac{1}{3} e r=-1. Assim
3r^{2}+2r-1=(3r-1)(r+1),
e então
-3r^{2}-2r+1=-(3r-1)(r+1).
Substituindo na expressão de f'(r) obtemos a forma fatorada
f'(r)=\frac{-(3r-1)(r+1)}{(r^{2}-r)^{2}}.

Passo 8

Comentário final e domínio: a derivada está definida para os mesmos r em que f está definida, isto é, para r\neq0 e r\neq1 (porque o denominador original não pode ser zero). Se quiser usar em prova, você pode apresentar a forma expandida ou a forma fatorada — ambas estão corretas.

Resposta

\displaystyle f'(r)=\frac{-(3r-1)(r+1)}{(r^{2}-r)^{2}}

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