Calcule as derivadas das funções abaixo:
(i) h(s)=\frac{1}{3 s^{2}}-\frac{5}{2 s}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(s)=\frac{1}{3 s^{2}}-\frac{5}{2 s}.
Informações relevantes dadas:
\text{Função: }h(s)=\frac{1}{3 s^{2}}-\frac{5}{2 s}.çã
A tarefa é encontrar h'(s), a derivada de h em relação a s. Não há mais informações adicionais necessárias.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função usando potências com expoentes negativos — isso facilita o uso da regra do poder (power rule). Lembre que
\frac{1}{s^{2}}=s^{-2}\quad\text{e}\quad\frac{1}{s}=s^{-1}.
Aplicando isso à função, temos
h(s)=\frac{1}{3}s^{-2}-\frac{5}{2}s^{-1}.

Passo 3

Agora explico a regra que vamos usar (de forma didática):
  • Regra do poder: se f(s)=s^{n} com n constante, então
f'(s)=n\,s^{n-1}.
Aqui s é a variável e n é o expoente constante.
  • Regra do múltiplo constante: se g(s)=c\cdot f(s) com c constante, então
g'(s)=c\cdot f'(s).
Ou seja, podemos tirar constantes para fora da derivada.

Passo 4

Aplicamos as regras termo a termo. Para o primeiro termo \frac{1}{3}s^{-2}:
  • A constante é c=\frac{1}{3}.
  • Aplicando a regra do poder a s^{-2}: (s^{-2})' = -2\,s^{-3}.
    Portanto
\left(\frac{1}{3}s^{-2}\right)'=\frac{1}{3}\cdot(-2)s^{-3}=-\frac{2}{3}s^{-3}.

Passo 5

Agora o segundo termo -\frac{5}{2}s^{-1}:
  • A constante é c=-\frac{5}{2}.
  • Aplicando a regra do poder a s^{-1}: (s^{-1})' = -1\,s^{-2} = -s^{-2}.
    Portanto
\left(-\frac{5}{2}s^{-1}\right)'=-\frac{5}{2}\cdot(-1)s^{-2}=+\frac{5}{2}s^{-2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos obtemos
h'(s)=-\frac{2}{3}s^{-3}+\frac{5}{2}s^{-2}.
Podemos deixar assim ou simplificar para uma única fração.

Passo 7

Para simplificar para uma única fração com denominador em potências de s, escrevemos os termos com denominador comum 6s^{3}. Primeiro escrevemos os termos em forma de fração:
-\frac{2}{3}s^{-3}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s^{3}}=-\frac{2}{3s^{3}},
\frac{5}{2}s^{-2}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{5}{2s^{2}}=\frac{5s}{2s^{3}}.
Agora colocamos sobre o denominador comum 6s^{3}:
-\frac{2}{3s^{3}}=-\frac{4}{6s^{3}},\qquad \frac{5s}{2s^{3}}=\frac{15s}{6s^{3}}.
Somando:
h'(s)=\frac{15s-4}{6s^{3}}.

Resposta

h'(s)=-\frac{2}{3}s^{-3}+\frac{5}{2}s^{-2}=\frac{15s-4}{6s^{3}}.

Exercícios relacionados