Obtenha o polinômio
de grau 3 tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um polinômio
de grau 3 que satisfaça as condições dadas. As perguntas implícitas são: qual é o polinômio
de grau 3 que verifica todas as condições listadas?
Lista das informações (condições) fornecidas:
Lista das informações (condições) fornecidas:
Passo 2
Começamos assumindo a forma geral de um polinômio de grau 3. Um polinômio cúbico com coeficientes reais pode ser escrito como
onde
,
,
e
são números reais desconhecidos que precisamos determinar. Aqui
é o coeficiente de
,
de
,
de
e
é o termo constante.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias: a primeira e a segunda derivada de
. Lembre-se: a derivada de
é
. Aplicando isso:
Explicando:
dá a taxa de variação de
e é obtida derivando termo a termo;
é a derivada da derivada, também obtida derivando termo a termo.
Passo 4
Usamos a condição
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos
Passo 5
Usamos a condição
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos
Passo 6
Usamos a condição
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos
Passo 7
Agora falta determinar
. Usamos a condição
. Substituindo
em
e lembrando dos valores de
e
que já encontramos:
Sabemos que
,
e
. Então
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora já temos todos os coeficientes:
,
,
,
. Portanto o polinômio é
Para garantir que não cometemos erro, fazemos uma checagem rápida: