Obtenha o polinômio q(x) de grau 3 tal que q(0)=1, q^{\prime}(0)=0 e q^{\prime}(1)=0, q^{\prime \prime}(0)=-8.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um polinômio q(x) de grau 3 que satisfaça as condições dadas. As perguntas implícitas são: qual é o polinômio q(x) de grau 3 que verifica todas as condições listadas?
Lista das informações (condições) fornecidas:
q(0)=1,
q'(0)=0,
q'(1)=0,
q''(0)=-8.

Passo 2

Começamos assumindo a forma geral de um polinômio de grau 3. Um polinômio cúbico com coeficientes reais pode ser escrito como
q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
onde a, b, c e d são números reais desconhecidos que precisamos determinar. Aqui a é o coeficiente de x^3, b de x^2, c de x e d é o termo constante.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias: a primeira e a segunda derivada de q(x). Lembre-se: a derivada de x^n é n x^{n-1}. Aplicando isso:
q'(x)=3ax^{2}+2bx+c,
q''(x)=6ax+2b.
Explicando: q'(x) dá a taxa de variação de q e é obtida derivando termo a termo; q''(x) é a derivada da derivada, também obtida derivando termo a termo.

Passo 4

Usamos a condição q(0)=1. Substituindo x=0 em q(x):
q(0)=a\cdot0^{3}+b\cdot0^{2}+c\cdot0+d=d.
Como q(0)=1, obtemos
d=1.

Passo 5

Usamos a condição q'(0)=0. Substituindo x=0 em q'(x):
q'(0)=3a\cdot0^{2}+2b\cdot0+c=c.
Como q'(0)=0, obtemos
c=0.

Passo 6

Usamos a condição q''(0)=-8. Substituindo x=0 em q''(x):
q''(0)=6a\cdot0+2b=2b.
Como q''(0)=-8, obtemos
2b=-8\quad\Rightarrow\quad b=-4.

Passo 7

Agora falta determinar a. Usamos a condição q'(1)=0. Substituindo x=1 em q'(x) e lembrando dos valores de b e c que já encontramos:
q'(1)=3a\cdot1^{2}+2b\cdot1+c=3a+2b+c.
Sabemos que q'(1)=0, b=-4 e c=0. Então
3a+2(-4)+0=0 \quad\Rightarrow\quad 3a-8=0.
Resolvendo para a:
3a=8\quad\Rightarrow\quad a=\frac{8}{3}.

Passo 8

Agora já temos todos os coeficientes: a=\dfrac{8}{3}, b=-4, c=0, d=1. Portanto o polinômio é
q(x)=\frac{8}{3}x^{3}-4x^{2}+1.
Para garantir que não cometemos erro, fazemos uma checagem rápida:
q(0)=1\\ (\text{ok}),
q'(x)=3\cdot\frac{8}{3}x^{2}+2(-4)x+0=8x^{2}-8x,
q'(0)=0\\ (\text{ok}),\quad q'(1)=8-8=0\\ (\text{ok}),
q''(x)=16x-8,\quad q''(0)=-8\\ (\text{ok}).

Resposta

q(x)=\frac{8}{3}x^{3}-4x^{2}+1

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