Calcule as derivadas das funções abaixo:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar
(a taxa de variação instantânea de
em relação a
). Informações importantes fornecidas: a constante multiplicativa
e a presença do termo
.
Passo 2
Breve lembrete do que é derivada (em linguagem tranquila): a derivada de uma função em um ponto mede como a função muda quando a variável muda um pouquinho. Formalmente, usando incremento
,
Aqui vou usar essa ideia quando for necessário, mas também vou usar duas regras muito úteis e fáceis de aplicar em prova: a regra do fator constante e a regra da potência.
Passo 3
Apresentando as regras que vou usar (explicando cada uma):
- Regra do fator constante: se
é uma constante e é uma função, então
Isto significa que uma constante pode ficar fora da derivada.
- Regra da potência (caso simples que usamos aqui): para a função
com inteiro positivo, a derivada é
No nosso caso temos
, então a regra diz que a derivada de
é
. Vou mostrar rapidinho por que isso vale para
usando a definição de derivada (assim você vê que não é mágica).
Passo 4
Aplicando a regra do fator constante à nossa função:
Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Derivando
pela definição (justificativa da regra da potência para
):
Expandindo o numerador:
Dividindo por
e passando ao limite:
Portanto
, como a regra da potência previa.
Passo 6
Voltando à derivada de
, substituindo:
Fazendo a multiplicação da constante:
Passo 7
Interpretação rápida e dica para prova: a derivada ficou proporcional a
. Sempre que você tiver uma constante multiplicando uma potência, pode “puxar” a constante para fora e aplicar a regra da potência. Se quiser, em prova você pode usar direto:
Você já tem a resposta e a justificativa.