Calcule as derivadas das funções abaixo:
(f) h(d)=\frac{\pi}{4} d^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
h(d)=\frac{\pi}{4}d^{2}
e pede para calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar h'(d) (a taxa de variação instantânea de h em relação a d). Informações importantes fornecidas: a constante multiplicativa \frac{\pi}{4} e a presença do termo d^{2}.

Passo 2

Breve lembrete do que é derivada (em linguagem tranquila): a derivada de uma função em um ponto mede como a função muda quando a variável muda um pouquinho. Formalmente, usando incremento \Delta d,
h'(d)=\lim_{\Delta d\to 0}\frac{h(d+\Delta d)-h(d)}{\Delta d}.
Aqui vou usar essa ideia quando for necessário, mas também vou usar duas regras muito úteis e fáceis de aplicar em prova: a regra do fator constante e a regra da potência.

Passo 3

Apresentando as regras que vou usar (explicando cada uma):
  • Regra do fator constante: se k é uma constante e f é uma função, então
\frac{d}{dd}\big(k\cdot f(d)\big)=k\cdot f'(d).
Isto significa que uma constante pode ficar fora da derivada.
  • Regra da potência (caso simples que usamos aqui): para a função d^{n} com n inteiro positivo, a derivada é
\frac{d}{dd}\big(d^{n}\big)=n\,d^{n-1}.
No nosso caso temos n=2, então a regra diz que a derivada de d^{2} é 2d. Vou mostrar rapidinho por que isso vale para n=2 usando a definição de derivada (assim você vê que não é mágica).

Passo 4

Aplicando a regra do fator constante à nossa função:
h'(d)=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{d}{dd}\big(d^{2}\big).
Agora precisamos calcular \frac{d}{dd}\big(d^{2}\big).

Passo 5

Derivando d^{2} pela definição (justificativa da regra da potência para n=2):
\frac{d}{dd}\big(d^{2}\big)=\lim_{\Delta d\to 0}\frac{(d+\Delta d)^{2}-d^{2}}{\Delta d}.
Expandindo o numerador:
(d+\Delta d)^{2}-d^{2}=d^{2}+2d\Delta d+(\Delta d)^{2}-d^{2}=2d\Delta d+(\Delta d)^{2}.
Dividindo por \Delta d e passando ao limite:
\lim_{\Delta d\to 0}\frac{2d\Delta d+(\Delta d)^{2}}{\Delta d}=\lim_{\Delta d\to 0}\big(2d+\Delta d\big)=2d.
Portanto \frac{d}{dd}\big(d^{2}\big)=2d, como a regra da potência previa.

Passo 6

Voltando à derivada de h, substituindo:
h'(d)=\frac{\pi}{4}\cdot 2d.
Fazendo a multiplicação da constante:
h'(d)=\frac{\pi}{2}\,d.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova: a derivada ficou proporcional a d. Sempre que você tiver uma constante multiplicando uma potência, pode “puxar” a constante para fora e aplicar a regra da potência. Se quiser, em prova você pode usar direto:
\frac{d}{dd}\!\left(\frac{\pi}{4}d^{2}\right)=\frac{\pi}{4}\cdot 2d=\frac{\pi}{2}d.
Você já tem a resposta e a justificativa.

Resposta

h'(d)=\frac{\pi}{2}d

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