Encontre as derivadas das funções abaixo:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
. Informações dadas/observações iniciais que importam: a função envolve a variável
tanto na base quanto no expoente, e a expressão
está definida como número real para
(pois aparecerá
no processo). A tarefa é calcular
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicarei passo a passo): quando a variável aparece na base e no expoente ao mesmo tempo, a forma mais prática é usar diferenciação por logaritmo (logaritmo natural) — chamada de diferenciação logarítmica. A ideia é escrever
, tomar logaritmo natural em ambos os lados para transformar potência em produto e então derivar implicitamente. Isso evita manipular diretamente potências com expoentes variáveis.
Passo 3
Defino a parte variável sem o fator constante:
. Faço
dos dois lados:
Aqui usei a propriedade
. Agora vou diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembrete útil: ao diferenciar
em relação a
devemos aplicar a regra da cadeia, obtendo
.
Passo 4
Derivo o lado direito
usando a regra do produto. Seja
e
. Então
e
. Pela regra do produto,
Portanto, diferenciando ambos os lados da equação do passo anterior obtenho
Passo 5
Isolo
multiplicando por
:
Agora retorno à variável original:
. Então
Posso simplificar a expressão dentro do parêntese usando
, então
Passo 6
Agora volto à função original
. Como
é constante, aplico a regra do fator constante:
. Assim
Observação sobre domínio: essa expressão válida para
, que é o domínio natural onde usamos
.