Encontre as derivadas das funções abaixo:
(e) f(x)=3 x^{1-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=3 x^{1-x}. Informações dadas/observações iniciais que importam: a função envolve a variável x tanto na base quanto no expoente, e a expressão x^{1-x} está definida como número real para x>0 (pois aparecerá \ln x no processo). A tarefa é calcular f'(x).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicarei passo a passo): quando a variável aparece na base e no expoente ao mesmo tempo, a forma mais prática é usar diferenciação por logaritmo (logaritmo natural) — chamada de diferenciação logarítmica. A ideia é escrever y=x^{1-x}, tomar logaritmo natural em ambos os lados para transformar potência em produto e então derivar implicitamente. Isso evita manipular diretamente potências com expoentes variáveis.

Passo 3

Defino a parte variável sem o fator constante: y=x^{1-x}. Faço \ln dos dois lados:
\ln y = (1-x)\,\ln x.
Aqui usei a propriedade \ln(a^b)=b\ln a. Agora vou diferenciar ambos os lados em relação a x. Lembrete útil: ao diferenciar \ln y em relação a x devemos aplicar a regra da cadeia, obtendo \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{y'}{y}.

Passo 4

Derivo o lado direito (1-x)\ln x usando a regra do produto. Seja u(x)=1-x e v(x)=\ln x. Então u'(x)=-1 e v'(x)=\dfrac{1}{x}. Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big((1-x)\ln x\big)=u'v+uv' = -\ln x + (1-x)\cdot\frac{1}{x}.
Portanto, diferenciando ambos os lados da equação do passo anterior obtenho
\frac{y'}{y} = -\ln x + \frac{1-x}{x}.

Passo 5

Isolo y' multiplicando por y:
y' = y\left(-\ln x + \frac{1-x}{x}\right).
Agora retorno à variável original: y=x^{1-x}. Então
\frac{d}{dx}\big(x^{1-x}\big)=x^{1-x}\left(-\ln x + \frac{1-x}{x}\right).
Posso simplificar a expressão dentro do parêntese usando \dfrac{1-x}{x}=\dfrac{1}{x}-1, então
\frac{d}{dx}\big(x^{1-x}\big)=x^{1-x}\left(\frac{1}{x}-1-\ln x\right).

Passo 6

Agora volto à função original f(x)=3x^{1-x}. Como 3 é constante, aplico a regra do fator constante: f'(x)=3\cdot \dfrac{d}{dx}\big(x^{1-x}\big). Assim
f'(x)=3\,x^{1-x}\left(\frac{1}{x}-1-\ln x\right).
Observação sobre domínio: essa expressão válida para x>0, que é o domínio natural onde usamos \ln x.

Resposta

f'(x)=3\,x^{1-x}\left(\dfrac{1}{x}-1-\ln x\right)

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