Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Integrando:
. Posso reescrever isso como . - Intervalo de integração:
vai de até . - Objetivo: avaliar essa integral definida usando o método de substituição (trocar variável por outra de forma que a integral fique mais simples).
Passo 2
Ideia da substituição (aula rápida sobre o método): quando escolhemos uma nova variável
, derivamos para obter
. Se o integrando contém
, podemos substituir
por
e
por
, simplificando a integral. Aqui note que a derivada de
é
, ou seja,
Isso é perfeito: o integrando tem exatamente
, então escolhemos a substituição que torna a integral trivial.
Passo 3
Faço a substituição explícita:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso significa que
no integrando pode ser substituído por
. Também reescrevo o fator exponencial como
. Assim a integral em termos de
fica
após trocar a diferencial.
Passo 4
Como é integral definida, troco os limites de integração usando
:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Portanto a integral definida se transforma em
Passo 5
Agora calculo a integral em
. Lembrete: a primitiva de
em relação a
é
(quando
). No nosso caso
, logo uma primitiva de
é
. Então
Para a integral definida, uso a primitiva direta no intervalo
:
Passo 6
Avalio o valor da primitiva nos extremos:
Como
, isso fica