Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{e^{\operatorname{tg}(x)}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{e^{\operatorname{tg}(x)}}\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Integrando: \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{e^{\operatorname{tg}(x)}}. Posso reescrever isso como \operatorname{sec}^{2}(x)\,e^{-\operatorname{tg}(x)}.
  • Intervalo de integração: x vai de 0 até \frac{\pi}{4}.
  • Objetivo: avaliar essa integral definida usando o método de substituição (trocar variável por outra de forma que a integral fique mais simples).

Passo 2

Ideia da substituição (aula rápida sobre o método): quando escolhemos uma nova variável u=g(x), derivamos para obter du=g'(x)\,dx. Se o integrando contém g'(x)\,dx, podemos substituir g'(x)\,dx por du e g(x) por u, simplificando a integral. Aqui note que a derivada de \operatorname{tg}(x) é \operatorname{sec}^{2}(x), ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}(x)\big)=\operatorname{sec}^{2}(x).
Isso é perfeito: o integrando tem exatamente \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx, então escolhemos a substituição que torna a integral trivial.

Passo 3

Faço a substituição explícita:
u = \operatorname{tg}(x).
Derivando ambos os lados em relação a x:
du = \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Isso significa que \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx no integrando pode ser substituído por du. Também reescrevo o fator exponencial como e^{-\operatorname{tg}(x)} = e^{-u}. Assim a integral em termos de u fica
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{e^{\operatorname{tg}(x)}}\,dx = \int e^{-u}\,du,
após trocar a diferencial.

Passo 4

Como é integral definida, troco os limites de integração usando u=\operatorname{tg}(x):
  • Quando x=0, temos u=\operatorname{tg}(0)=0.
  • Quando x=\frac{\pi}{4}, temos u=\operatorname{tg}\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1.
    Portanto a integral definida se transforma em
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{e^{\operatorname{tg}(x)}}\,dx = \int_{0}^{1} e^{-u}\,du.

Passo 5

Agora calculo a integral em u. Lembrete: a primitiva de e^{a u} em relação a u é \frac{1}{a}e^{a u} (quando a\neq 0). No nosso caso a=-1, logo uma primitiva de e^{-u} é -e^{-u}. Então
\int e^{-u}\,du = -e^{-u} + C.
Para a integral definida, uso a primitiva direta no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \big[-e^{-u}\big]_{0}^{1}.

Passo 6

Avalio o valor da primitiva nos extremos:
\big[-e^{-u}\big]_{0}^{1} = \big(-e^{-1}\big) - \big(-e^{0}\big) = -e^{-1} + e^{0}.
Como e^{0}=1, isso fica
-e^{-1}+1.

Resposta

1-e^{-1}

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