Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(r)=r^{2}\left(3 r^{4}-7 r+2\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(r)=r^{2}\bigl(3r^{4}-7r+2\bigr).
Vamos usar a regra do produto e a regra da potência para derivar.

Passo 2

Definimos
u(r)=r^{2} \quad\text{e}\quad v(r)=3r^{4}-7r+2.
Pela regra do produto,
f'(r)=u'(r)\,v(r)+u(r)\,v'(r).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
Pela regra da potência,
u'(r)=2r.
Derivando v(r):
v'(r)=\frac{d}{dr}(3r^{4})-\frac{d}{dr}(7r)+\frac{d}{dr}(2) =12r^{3}-7+0 =12r^{3}-7.

Passo 4

Substituindo em f'(r)=u'(r)\,v(r)+u(r)\,v'(r), obtemos
f'(r)=2r\,(3r^{4}-7r+2)+r^{2}\,(12r^{3}-7).

Passo 5

Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
Primeiro termo:
2r\cdot3r^{4}=6r^{5},\quad 2r\cdot(-7r)=-14r^{2},\quad 2r\cdot2=4r.
Segundo termo:
r^{2}\cdot12r^{3}=12r^{5},\quad r^{2}\cdot(-7)=-7r^{2}.
Somando tudo:
6r^{5}+12r^{5}=18r^{5}, \quad -14r^{2}-7r^{2}=-21r^{2}, \quad +4r.

Resposta

f'(r)=18r^{5}-21r^{2}+4r.

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