Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\int_{1-2 x}^{1+2 x} t \sin t d t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{1-2 x}^{1+2 x} t\sin t\\ d t
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integral tem integrando t\sin t, que depende de t apenas (não depende explicitamente de x).
  • Os limites de integração são funções de x: o limite inferior é a(x)=1-2x e o limite superior é b(x)=1+2x.
  • Objetivo: encontrar a expressão de f'(x).

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado passo a passo): se
f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\\ d t
onde g depende só de t e a(x),b(x) são funções diferenciáveis, então vale a regra (derivação sob o sinal de integral com limites variáveis)
f'(x)=g\big(b(x)\big)\,b'(x)-g\big(a(x)\big)\,a'(x).
Por que isso é razoável? Intuição e cadeia:
  • A Teoria Fundamental do Cálculo diz que se G é uma primitiva de g (ou seja G'=g), então \int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,dt = G\big(b(x)\big)-G\big(a(x)\big).
  • Diferenciando isso em x e aplicando a regra da cadeia (pois b e a dependem de x) obtemos exatamente f'(x)=G'\big(b(x)\big)b'(x)-G'\big(a(x)\big)a'(x)=g\big(b(x)\big)b'(x)-g\big(a(x)\big)a'(x).
Regra da cadeia lembrando: se h(x)=H(u(x)) então h'(x)=H'(u(x))u'(x).

Passo 3

Identificar as funções no nosso caso:
g(t)=t\sin t,\qquad a(x)=1-2x,\qquad b(x)=1+2x.
Calcular as derivadas dos limites:
a'(x)=\frac{d}{dx}(1-2x)=-2,\qquad b'(x)=\frac{d}{dx}(1+2x)=2.

Passo 4

Aplicar a fórmula da Passo 2:
f'(x)=g\big(b(x)\big)b'(x)-g\big(a(x)\big)a'(x).
Substituindo g, a(x), b(x) e suas derivadas:
f'(x)=(1+2x)\sin(1+2x)\cdot 2 - (1-2x)\sin(1-2x)\cdot(-2).
Cuidando dos sinais, o segundo termo tem um menos vezes a'(x)=-2, o que vira soma:
f'(x)=2(1+2x)\sin(1+2x)+2(1-2x)\sin(1-2x).
Fatorando 2 fica mais compacto:
f'(x)=2\left[(1+2x)\sin(1+2x)+(1-2x)\sin(1-2x)\right].

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas útil para entender): calcular uma primitiva de g(t)=t\sin t por partes e derivar o resultado. Integração por partes: escolha u=t e dv=\sin t\,dt. Então du=dt e v=-\cos t. Assim
\int t\sin t\,dt = uv-\int v\,du = -t\cos t + \int \cos t\,dt = -t\cos t + \sin t + C.
Logo uma primitiva é G(t)=-t\cos t+\sin t. Então
f(x)=G(1+2x)-G(1-2x).
Derivando com regra da cadeia:
f'(x)=G'(1+2x)\cdot 2 - G'(1-2x)\cdot(-2).
Mas G'(t)=t\sin t, logo voltamos à mesma expressão e obtemos novamente
f'(x)=2\left[(1+2x)\sin(1+2x)+(1-2x)\sin(1-2x)\right].

Resposta

f'(x)=2\left[(1+2x)\sin(1+2x)+(1-2x)\sin(1-2x)\right]

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