Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A integral tem integrando
, que depende de apenas (não depende explicitamente de ). - Os limites de integração são funções de
: o limite inferior é e o limite superior é . - Objetivo: encontrar a expressão de
.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicado passo a passo): se
onde
depende só de
e
são funções diferenciáveis, então vale a regra (derivação sob o sinal de integral com limites variáveis)
Por que isso é razoável? Intuição e cadeia:
- A Teoria Fundamental do Cálculo diz que se
é uma primitiva de (ou seja ), então - Diferenciando isso em
e aplicando a regra da cadeia (pois e dependem de ) obtemos exatamente
Regra da cadeia lembrando: se
então
.
Passo 3
Identificar as funções no nosso caso:
Calcular as derivadas dos limites:
Passo 4
Aplicar a fórmula da Passo 2:
Substituindo
,
,
e suas derivadas:
Cuidando dos sinais, o segundo termo tem um menos vezes
, o que vira soma:
Fatorando
fica mais compacto:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, mas útil para entender): calcular uma primitiva de
por partes e derivar o resultado. Integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Assim
Logo uma primitiva é
. Então
Derivando com regra da cadeia:
Mas
, logo voltamos à mesma expressão e obtemos novamente