Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}\left(3 x^{2}-2 x+4\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(3x^{2}-2x+4\bigr).
O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia, pois temos uma função composta em que a parte interior é um polinômio e a parte exterior é o seno.

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa:
g(x)=3x^{2}-2x+4, \qquad h(u)=\operatorname{sen}(u),
de modo que f(x)=h\bigl(g(x)\bigr).

Passo 3

Pela Regra da Cadeia,
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).

Passo 4

Calculamos cada derivada:
  • A derivada de g(x) é
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x+4\bigr)=6x-2.
  • A derivada de h(u) em relação a u é
h'(u)=\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr)=\cos(u).
Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr)\cdot(6x-2) =\bigl(6x-2\bigr)\cos\bigl(3x^{2}-2x+4\bigr).

Resposta

f'(x)=\bigl(6x-2\bigr)\cos\bigl(3x^{2}-2x+4\bigr).

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