Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=e^{\sqrt{2 x^{3}-3 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{\sqrt{2x^{3}-3x^{2}}}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia em dois níveis: primeiro para a exponencial e depois para a raiz quadrada de um polinômio.

Passo 2

Definimos funções auxiliares para aplicar a cadeia de forma organizada:
v(x)=2x^{3}-3x^{2},
u(x)=\sqrt{v(x)}=(v(x))^{1/2},
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f(x)=e^{u(x)}.

Passo 3

Calculamos a derivada de v(x), que é um polinômio:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-3x^{2}\bigr)=6x^{2}-6x.

Passo 4

Agora derivamos u(x)=(v(x))^{1/2} usando a regra da potência combinada com a derivada de v:
u'(x)=\frac12\bigl(v(x)\bigr)^{-1/2}\cdot v'(x) =\frac{6x^{2}-6x}{2\sqrt{2x^{3}-3x^{2}}} =\frac{3x^{2}-3x}{\sqrt{2x^{3}-3x^{2}}}.

Passo 5

Por fim, aplicamos a regra da cadeia para f(x)=e^{u(x)}:
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x) =e^{\sqrt{2x^{3}-3x^{2}}}\,\frac{3x^{2}-3x}{\sqrt{2x^{3}-3x^{2}}}.
Podemos fatorar 3x^{2}-3x=3x(x-1) para simplificar.

Resposta

f'(x)=e^{\sqrt{2x^{3}-3x^{2}}}\,\frac{3x(x-1)}{\sqrt{2x^{3}-3x^{2}}}.

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