Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sec} \left(\sqrt{\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sec}\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{e^{x}+1}{e^{x}-1}}\Bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia múltipla, sabendo que
  1. a derivada de \operatorname{sec}(u) é \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u',
  2. a derivada de \sqrt{v} é \tfrac{1}{2\sqrt{v}}\,v',
  3. a derivada de uma razão \tfrac{g(x)}{h(x)} vem da regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\sqrt{v(x)}, \quad v(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}.
Pela regra da cadeia para f(x)=\operatorname{sec}(u) temos
f'(x) =\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) \quad\text{e}\quad u'(x)=\frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}.

Passo 3

Calculamos v'(x) pela regra do quociente:
v'(x) =\frac{(e^x) (e^x-1)\;-\;(e^x+1)(e^x)}{(e^x-1)^2} =\frac{e^{2x}-e^x-e^{2x}-e^x}{(e^x-1)^2} =\frac{-2e^x}{(e^x-1)^2}.

Passo 4

Substituindo v'(x) em u'(x) e depois em f'(x):
u'(x) =\frac{-2e^x}{(e^x-1)^2}\;\frac{1}{2\sqrt{\frac{e^x+1}{e^x-1}}} =-\frac{e^x}{(e^x-1)^2\,\sqrt{\frac{e^x+1}{e^x-1}}},
f'(x) =\operatorname{sec}\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{e^x+1}{e^x-1}}\Bigr) \tan\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{e^x+1}{e^x-1}}\Bigr) \Bigl(-\frac{e^x}{(e^x-1)^2\,\sqrt{\tfrac{e^x+1}{e^x-1}}}\Bigr).

Resposta

\boxed{ f'(x) =-\frac{e^x\;\operatorname{sec}\!\bigl(\sqrt{\tfrac{e^x+1}{e^x-1}}\bigr)\; \tan\!\bigl(\sqrt{\tfrac{e^x+1}{e^x-1}}\bigr)} {(e^x-1)^2\,\sqrt{\tfrac{e^x+1}{e^x-1}}} }.

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