Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}(\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \sin\bigl(\sqrt{x}\bigr).
O conteúdo envolvido é derivação usando a regra da cadeia, para isso precisamos da derivada de \sin(u) em relação a u e da derivada de \sqrt{x} em relação a x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = \sqrt{x} = x^{\tfrac12}.
Para derivar u(x), aplicamos a regra de potência:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr) = \tfrac12\,x^{-\tfrac12} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

A função externa é
g(u) = \sin(u),
cuja derivada em relação a u é
g'(u) = \cos(u).

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de f(x)=g\bigl(u(x)\bigr) é
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).
Substituindo g' e u', obtemos
f'(x) = \cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\cdot\,\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Reorganizando a expressão, fica
f'(x) = \frac{\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x) = \frac{\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{x}}.

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