Nas funções abaixo, verifique onde as mesmas são contínuas.
f(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função de duas variáveis f(x,y)=\sqrt{25 - x^2 - y^2}
é contínua. Aqui usamos o conceito de domínio de uma função com raiz quadrada e o fato de que soma e polinômios são contínuos, assim como a raiz é contínua em [0,\infty).

Passo 2

Para que a expressão dentro da raiz seja real, precisamos de
25 - x^2 - y^2 \ge 0
ou seja,
x^2 + y^2 \le 25.
Isso define o domínio
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 25\}.

Passo 3

Defina g(x,y)=25 - x^2 - y^2. Como polinômio em x,y, g é contínua em \mathbb{R}^2. A função \sqrt{\cdot} é contínua em todo [0,\infty), inclusive em 0. Portanto, f(x,y)=\sqrt{g(x,y)} é contínua em todo ponto onde g(x,y)\ge0, ou seja, em todo D.

Passo 4

Concluímos que f é contínua exatamente em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 25\}.

Resposta

\text{A função é contínua para todos os }(x,y)\text{ tais que }x^2 + y^2 \le 25.çãéí

Exercícios relacionados