Nas funções que se encontram nos itens abaixo, determine
  • Domínio da função;
  • A imagem da função;
  • As curvas de nível da função;
  • A fronteira do domínio da função;
  • O domínio é um conjunto aberto ou limitado;
    f(x, y)=4 x^{2}+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=4x^{2}+9y^{2}
determinar:
– domínio;
– imagem;
– curvas de nível;
– fronteira do domínio;
– se o domínio é aberto ou limitado.
Este é um exercício de análise de funções de duas variáveis e de geometria de conjuntos em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que f é um polinômio em x e y. Polinômios estão definidos para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Logo
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

Para a imagem analisamos o valor de f(x,y)=4x^2+9y^2. Como x^2\ge0 e y^2\ge0, temos f(x,y)\ge0. O mínimo ocorre em (0,0), com f(0,0)=0. Ao fazer \|(x,y)\|\to\infty, f(x,y)\to\infty.
Logo a imagem é
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 4

As curvas de nível de valor c são os conjuntos
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\} \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2+9y^2=c.
– Se c<0, não há solução (conjunto vazio).
– Se c=0, a única solução é (0,0).
– Se c>0, a equação 4x^2+9y^2=c é uma elipse centrada em (0,0) com semieixos \sqrt{c}/2 e \sqrt{c}/3.

Passo 5

A fronteira de um conjunto D em \mathbb{R}^2 é \overline{D}\setminus\mathrm{int}(D). Como D=\mathbb{R}^2 satisfaz \overline{D}=\mathbb{R}^2 e \mathrm{int}(D)=\mathbb{R}^2, temos
\partial D=\mathbb{R}^2\setminus\mathbb{R}^2=\varnothing.

Passo 6

O domínio \mathbb{R}^2 é um conjunto aberto (cada ponto tem um pequeno disco contido em \mathbb{R}^2) e também não é limitado (vai até o infinito).

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}^2.
(b) Imagem: [0,\infty).
(c) Curvas de nível: para c<0 é o conjunto vazio; para c=0 é o ponto (0,0); para c>0 é a elipse
4x^2+9y^2=c.
(d) Fronteira do domínio: \varnothing.
(e) O domínio é aberto e não limitado.

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