Nas funções que se encontram nos itens abaixo, determine
Domínio da função;
A imagem da função;
As curvas de nível da função;
A fronteira do domínio da função;
O domínio é um conjunto aberto ou limitado; f(x, y)=4 x^{2}+9 y^{2}
Passo 1
O enunciado pede para a função
f(x,y)=4x^{2}+9y^{2}
determinar:
– domínio;
– imagem;
– curvas de nível;
– fronteira do domínio;
– se o domínio é aberto ou limitado.
Este é um exercício de análise de funções de duas variáveis e de geometria de conjuntos em \mathbb{R}^2.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que f é um polinômio em x e y. Polinômios estão definidos para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Logo
Para a imagem analisamos o valor de f(x,y)=4x^2+9y^2. Como x^2\ge0 e y^2\ge0, temos f(x,y)\ge0. O mínimo ocorre em (0,0), com f(0,0)=0. Ao fazer \|(x,y)\|\to\infty, f(x,y)\to\infty.
Logo a imagem é
– Se c<0, não há solução (conjunto vazio).
– Se c=0, a única solução é (0,0).
– Se c>0, a equação 4x^2+9y^2=c é uma elipse centrada em (0,0) com semieixos \sqrt{c}/2 e \sqrt{c}/3.
Passo 5
A fronteira de um conjunto D em \mathbb{R}^2 é \overline{D}\setminus\mathrm{int}(D). Como D=\mathbb{R}^2 satisfaz \overline{D}=\mathbb{R}^2 e \mathrm{int}(D)=\mathbb{R}^2, temos