Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sin\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}+1\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, combinando a derivada da função externa \sin(u) com a derivada da função interna u(x)=\sqrt{4x^{2}+3x}+1.

Passo 2

Vamos identificar as duas funções envolvidas:
  • Externa: g(u)=\sin(u).
  • Interna: u(x)=\sqrt{4x^{2}+3x}+1.
    Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Primeiro calculamos u'(x). Note que
u(x)=\bigl(4x^{2}+3x\bigr)^{1/2}+1.
A derivada de 1 é zero, então só resta derivar \bigl(4x^{2}+3x\bigr)^{1/2}. Usando \frac{d}{dx}\sqrt{v}=\frac{v'}{2\sqrt{v}} com v=4x^{2}+3x e v'=8x+3, obtemos
u'(x)=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^{2}+3x}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(u) é \cos(u), avaliamos em u(x) e multiplicamos por u'(x). Logo,
f'(x) =\cos\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}+1\bigr)\,\cdot\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^{2}+3x}}.

Resposta

f'(x) =\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^{2}+3x}}\;\cos\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}+1\bigr).

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